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https://doi.org/10.11588/diglit.34797#0016
16 (A.12)
L. Koenigsberger:
worin c eine bestimmte Konstante ist. Da nun aber für die beiden
algebraischen Fundamentalintegrale Ui und Ug die Beziehung
besteht
/' w
Ug-KUi+ßUi/^ydx,
in welcher und ß bestimmte Konstanten bedeuten, so wird sich
nach dem ÄBELSchen Integralsatz mit Hilfe der Gleichung (16)
Ug als rationale Funktion von Ui mit in x, z, w rationalen Koeffi-
zienten in der Form ergeben
Ug = R (x,z,w,Ui) ,
so daß aus (21)
(23) Rg x,z,w,yg '=R x,z,w,Ri x,z,w,yi
folgt, und daher die algebraische Beziehung (22) zwischen den
beiden Integralen yi und yg der RiccATischen Differentialglei-
chung in
yz=yi+c
Ri x,z,w,yJ 'R x,z,w,Ri x,z,w,yi
oder in
(24)
Vg = P x,z,w,yi,Rd x,z,w,y^
übergeht, worin P eine rationale Funktion darstellt.
Es werden somit unter der Annahme, daß die Differential-
gleichung
u" + fi (x, z) u' + fg (x, z) u = 0
zwei algebraische Fundamentalintegrale Ui und Ug besitzt, welche
Lösungen einer mit Adjungierung von x, z, und
L. Koenigsberger:
worin c eine bestimmte Konstante ist. Da nun aber für die beiden
algebraischen Fundamentalintegrale Ui und Ug die Beziehung
besteht
/' w
Ug-KUi+ßUi/^ydx,
in welcher und ß bestimmte Konstanten bedeuten, so wird sich
nach dem ÄBELSchen Integralsatz mit Hilfe der Gleichung (16)
Ug als rationale Funktion von Ui mit in x, z, w rationalen Koeffi-
zienten in der Form ergeben
Ug = R (x,z,w,Ui) ,
so daß aus (21)
(23) Rg x,z,w,yg '=R x,z,w,Ri x,z,w,yi
folgt, und daher die algebraische Beziehung (22) zwischen den
beiden Integralen yi und yg der RiccATischen Differentialglei-
chung in
yz=yi+c
Ri x,z,w,yJ 'R x,z,w,Ri x,z,w,yi
oder in
(24)
Vg = P x,z,w,yi,Rd x,z,w,y^
übergeht, worin P eine rationale Funktion darstellt.
Es werden somit unter der Annahme, daß die Differential-
gleichung
u" + fi (x, z) u' + fg (x, z) u = 0
zwei algebraische Fundamentalintegrale Ui und Ug besitzt, welche
Lösungen einer mit Adjungierung von x, z, und