Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die algebraischen Integraie der Riccatischen Differentialgleichung. (A. 12) 17
irreduktibeln algebraischen Gleichung (16) genügen, unabhängig
davon, ob diese Gleichung durch Wurzelzeichen auflösbar ist,
zwei Lösungen yd und yg der entsprechenden Gleichung (20),
deren Lösungen Integrale der RiccATischen Differentialgleichung
/ +ys + fi(x,z)y + fg(x,z) -0
sind, in der durch die Gleichung (24) ausgedrückten Beziehung
zueinander stehen.
Es möge nun noch an einem Beispiel die Methode für die Unter-
suchung der Form der algebraischen Integrale erläutert werden,
nachdem die folgende Bemerkung vorausgeschickt worden, welche
den Fundamentalsatz von der algebraischen Integration ÄBELScher
Integrale so gestalten soll, daß derselbe zugleich die Methode zur
wirklichen Darstellung der Resultate liefert.
Wenn eine algebraische Gleichung
(25) y'" + ri (x) y"'"' + - - - + r^ (x) y + r^ (x) = 0 ,
deren Koeffizienten rationale Funktionen von x sind, gegeben ist,
so ist die Ableitung y' rational in x und y in der Form ausdrückbar
(26) y - Po (x) y"'"' + pi (x) y^ + - - - + p^ (x) ,
worin po, Pi, . - - rationale Funktionen von x sind; es handelt sich
nun darum, nachzuweisen, daß zunächst unter der Voraussetzung,
daß die Gleichung (25) mit Adjungierung von x irreduktibel ist,
auch umgekehrt y eine rationale Funktion von x und y' ist. Dies
folgt aber leicht aus der Überlegung, daß, wenn die Gleichungen
(25) und (26) für eine Lösung yi der ersteren zusammen bestehen,
die Polynome
y 4-ri(x)y +-.-+r^(x)
und
Po (x) y'^ + Pi (x) y^"' + - - - + (Pn,_i (x) - y^
den gemeinsamen Teiler y-yi besitzen, und nicht auch y-yg,
da sonst
Po (x) + Pi (x) y!T' + - - - + (pm-i (x) - y') - o
oder
^4 = Po (x) y!T' + Pi (x) y""' + - - - + Pm-i (x) - y^


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