Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

18(A.12)

L. Koenigsberger:

wäre, und sich somit yg von yi gegen die Annahme der Irredukti-
bilität der Gieichung (25) nur um eine additive Konstante unter-
scheiden würde. Durch die rationale Operation der Aufsuchung
des größten gemeinschaftlichen Teilers ergibt sich somit y^ als
rationale Funktion der Koeffizienten der beiden Polynome, also
von x und y^.
Daß aber dieser Satz auch bestehen bleibt, wenn die Gleichung
(25) nicht irreduktibel ist, geht daraus hervor, daß, wenn die
Gleichungen (25) und (26) einen größten gemeinsamen Teiler von
höherem Grade als dem ersten besitzen, sich die Lösungen des-
selben nach der eben gemachten Bemerkung nur um Konstanten
unterscheiden können, und somit der Koeffizient von y^"* sich
in der von Null verschiedenen Form [Ayi +A ergibt, worin A eine
Konstante ist; es wird also wieder, da der größte gemeinsame
Teiler sich als ein Polynom Grades in yi mit in x und y^
rationalen Koeffizineten darstellt,. y^ rational in x und y^ aus-
drückbar sein.
Dieser Satz ist aber nichts anderes als der AßELSche Satz,
daß, wenn y eine algebraische Funktion von x ist, aus der Gleichung


folgt, daß y eine rationale Funktion von x und y' ist. Aber die
eben gegebene Form des Satzes liefert zugleich die Methode, wie
man, wenn für eine algebraische Funktion z von x auch


wieder eine algebraische Funktion dieser Variabein ist, diese alge-
braische Funktion als rationale Funktion von x und z darstellen
kann.
Sei nun z. B. die RiccATische Differentialgleichung

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gegeben, so geht diese durch die Substitution (2) in die lineare
Differentialgleichung zweiter Ordnung