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https://doi.org/10.11588/diglit.34797#0019
Die algebraischen Integrale der Riccatischen Differentialgleichung. (A. 12) 19
über. Ein algebraisches Integral dieser ist
— 5/7 —3/7
Ui = X + X ,
und alle Integrale, welche mit diesem ein Fundamentalsystem
bilden, sind, wegen
_j5 /'dx _jt5
7 J x 7
w = e = x ,
in der Form enthalten
(30) U = (X X + X + ß (x
worin a und ß willkürliche Konstanten sind.
Nun ist aber
(3 t)
wieder eine algebraische Funktion, und es muß daher nach dem
ÄBELschen Satze die rechte Seite dieser Gleichung eine rationale
Funktion von x und dem Integranden sein, die wir nach den oben
gemachten Auseinandersetzungen dadurch finden, daß wir zwischen
dem aus der Gleichung (31) sich ergebenden Polynome in
(l+X^yf + 7
7 ^6
2-7)
2t.(y^ + 35.(^r)W 35.(1)^=- +2 t. (^,/
+ 7'H)A + ((F"
und dessen Ableitung
2 x 7/ + ^7 (1 + x') + 42.,(7/ +105 . +140. (;)" 7)'+105. (2.)
— 15/7
+ 42. (F 7,+ 7.(1)''
—5/7 —3/7\2
X + X
den größten gemeinschaftlichen Teiler suchen.
über. Ein algebraisches Integral dieser ist
— 5/7 —3/7
Ui = X + X ,
und alle Integrale, welche mit diesem ein Fundamentalsystem
bilden, sind, wegen
_j5 /'dx _jt5
7 J x 7
w = e = x ,
in der Form enthalten
(30) U = (X X + X + ß (x
worin a und ß willkürliche Konstanten sind.
Nun ist aber
(3 t)
wieder eine algebraische Funktion, und es muß daher nach dem
ÄBELschen Satze die rechte Seite dieser Gleichung eine rationale
Funktion von x und dem Integranden sein, die wir nach den oben
gemachten Auseinandersetzungen dadurch finden, daß wir zwischen
dem aus der Gleichung (31) sich ergebenden Polynome in
(l+X^yf + 7
7 ^6
2-7)
2t.(y^ + 35.(^r)W 35.(1)^=- +2 t. (^,/
+ 7'H)A + ((F"
und dessen Ableitung
2 x 7/ + ^7 (1 + x') + 42.,(7/ +105 . +140. (;)" 7)'+105. (2.)
— 15/7
+ 42. (F 7,+ 7.(1)''
—5/7 —3/7\2
X + X
den größten gemeinschaftlichen Teiler suchen.