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https://doi.org/10.11588/diglit.34636#0015
Über konvergente Matrixprodukte.
(A.4) 15
gefolgert werden kann. Wir wollen hier nur ein derartiges Kri-
terium aufstellen, nämlich den
SATZ 4. Wenn die Zahlen und sämtlich po-
sitiv sind, so folgt aus dem Bestehen der Gleichungen (28.)
notwendig die Beziehung (29.), sofern das Matrixprodukt
überhaupt konvergiert.
Aus (28.) erhält man nämlich, wie bereits in § 1 bemerkt,
2i.o -
Setzt man also
b)
V+l
;; = i,2, ...n).
&=i
35t, o
so ist 1K, v positiv, und außerdem
fb, v — 1
A-, v + l _ a
—'-— m-, v,
F
(v)
S p(G
3^i,o
A-, ^
35, 0
(f = 1,2, - - - ^ — 1).
Daher ist ein Mittelwert aus den % Zahlen
3^w, 0
1 4h, 2
Fi
(v)
FmV F^g' P^^
Diese streben aber, da das Matrixprodukt konvergiert, für lim v — co
alle ein und demselben Grenzwert zu, welcher also nur sein
35t, 0
kann. Sonach ist
pM
lim
y=00
3^t, 0
35t, 0
^ = 1,2, - - - M
^ = 1,2, ... M
oder anders geschrieben:
lim (p^, : p^, : - - - : pj,%) = ^ ^ : - - - : ^ ^
f = °°
für ^ = 1, 2, . . . M. Damit ist Satz 4 bewiesen.
(A.4) 15
gefolgert werden kann. Wir wollen hier nur ein derartiges Kri-
terium aufstellen, nämlich den
SATZ 4. Wenn die Zahlen und sämtlich po-
sitiv sind, so folgt aus dem Bestehen der Gleichungen (28.)
notwendig die Beziehung (29.), sofern das Matrixprodukt
überhaupt konvergiert.
Aus (28.) erhält man nämlich, wie bereits in § 1 bemerkt,
2i.o -
Setzt man also
b)
V+l
;; = i,2, ...n).
&=i
35t, o
so ist 1K, v positiv, und außerdem
fb, v — 1
A-, v + l _ a
—'-— m-, v,
F
(v)
S p(G
3^i,o
A-, ^
35, 0
(f = 1,2, - - - ^ — 1).
Daher ist ein Mittelwert aus den % Zahlen
3^w, 0
1 4h, 2
Fi
(v)
FmV F^g' P^^
Diese streben aber, da das Matrixprodukt konvergiert, für lim v — co
alle ein und demselben Grenzwert zu, welcher also nur sein
35t, 0
kann. Sonach ist
pM
lim
y=00
3^t, 0
35t, 0
^ = 1,2, - - - M
^ = 1,2, ... M
oder anders geschrieben:
lim (p^, : p^, : - - - : pj,%) = ^ ^ : - - - : ^ ^
f = °°
für ^ = 1, 2, . . . M. Damit ist Satz 4 bewiesen.