Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über konvergente Matrixprodukte.

(A.4) 17

Beispie!. Es ist für & 0, c =j= 0:

(33.) ] {

''a + X &
c 0

E

A = 0

(5c)^ srA (&)'"
v! T (a-ß^ ^ ^ v! r (a+1 +v)

Der betretende Kettenbruch läßt sich nämlich nach Lehrbuch,
Seite 478, Satz 3, berechnen.
Wir wenden uns jetzt zu dem allgemeineren Produkt

(33.)

n(: b
X = o x Z

wobei durchweg d^ =)= 0 sei. Setzt man
(34.) ^x d^ 5^ = A^,
und bezeichnet mit Py, g., den Näherungszähler und -Nenner v^*' Ord-
nung des Kettenbruches

(35.) L +

A,

dp dj
]

Ar
0

di dg

A,

+ . ..,

dessen alternierendes Bildungsgesetz man süfort erkennt, so ist
diesmal
Y T / ^X ^X \ 1 / P2y+1 d^ Pgy
1 1 \ 0 dx j do dl .. . . d, ( do gg,+i d^ d, gg,
X = o ^ x
Das läßt sich wieder durch den Schluß von v auf v + 1 veri-
ficieren oder a',uch mit Hilfe der Identität

/«X ^x\ 1 /^X 1\ /^ d^\
Vx d)J"dx 0/ \ AxO /
auf das bereits Behandelte zurückfuhren. Daraus ergibt sich
SATZ 6. Das Matrixprodukt (33.), bei dem d^ 4= 0 ist,
konvergiert dann und nur dann, wenn der Kettenbruch
(35.) mindestens im weiteren Sinne konvergiert. Und
zwar ist


wenn der Kettenbruch den Wert
dü hat,
wenn der Kettenbruch unwesent-
lich divergiert.


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