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https://doi.org/10.11588/diglit.34636#0019
Über konvergente Matrixprodukte.
(A.4) 19'
Py + l gy + 1
Nach § 2 sind die Zahlen -,-zwischen den Grenzen
^v+1 ++1
— und — eingeschlossen, und Konvergenz wird daher eintreten,
wenn
also, wenn
A. Ai ... A,
(40.) lim--= 0
ist. Somit findet gewiß Konvergenz statt, wenn eine der Deter-
minanten A,, verschwindet. Sieht man von diesem Fall ab, so ist
nach (37.)
+ + = (r^_^ ^, + Sy_i +) (r^_i F, + s.,_i dj
= (n., d,^ + c.J r.,_i +_i + + +_^+ + m
Da aber offenbar ^d^ + &^ + 7>AJ, und anderseits bekanntlich
+ r,_^+c., d., .5,^^ 2 V u, ^ c, d,, s,,_i
ist, so folgt:
r,, 5., +> (A.J + 2 V+ + dj
Oder, anders geschrieben:
A„ A, ... A,; A.A, ... A,_J
S.
^ y—1 ^v-
1+2
V+ ^+
A,
Die Bedingung (40.) wird daher gewiß erfüllt sein, wenn das
Produkt
A,
V+ + d.^
divergiert, oder, was dasselbe sagt, wenn die Reihe -w-?-
divergiert. Damit ist bewiesen
2*
(A.4) 19'
Py + l gy + 1
Nach § 2 sind die Zahlen -,-zwischen den Grenzen
^v+1 ++1
— und — eingeschlossen, und Konvergenz wird daher eintreten,
wenn
also, wenn
A. Ai ... A,
(40.) lim--= 0
ist. Somit findet gewiß Konvergenz statt, wenn eine der Deter-
minanten A,, verschwindet. Sieht man von diesem Fall ab, so ist
nach (37.)
+ + = (r^_^ ^, + Sy_i +) (r^_i F, + s.,_i dj
= (n., d,^ + c.J r.,_i +_i + + +_^+ + m
Da aber offenbar ^d^ + &^ + 7>AJ, und anderseits bekanntlich
+ r,_^+c., d., .5,^^ 2 V u, ^ c, d,, s,,_i
ist, so folgt:
r,, 5., +> (A.J + 2 V+ + dj
Oder, anders geschrieben:
A„ A, ... A,; A.A, ... A,_J
S.
^ y—1 ^v-
1+2
V+ ^+
A,
Die Bedingung (40.) wird daher gewiß erfüllt sein, wenn das
Produkt
A,
V+ + d.^
divergiert, oder, was dasselbe sagt, wenn die Reihe -w-?-
divergiert. Damit ist bewiesen
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