Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über konvergente Matrixprodukte.

(A.4) 25

Damit ist die Identiflcierung des Kettenbruches (52.) mit (50.)
geleistet, und der Formel (51.) zufolge ergibt sich sogleich:

(53.)


ßx+a
ßx+i /

= H:B.

Beispielsweise folgt aus der im Lehrbuch, Seite 297 stehenden
Formel (12.) für positive ß, a? und reelle =j= 0, — 1, — 2, - - - :

(54,)

1 T /^l-F(<X"F^)a? (ß-F7.-pl)a?
1 (ß-j-7.-j-l)a;


(l + a?M)


Ebenso aus Lehrbuch, Seite 347, Formel (3.):


(cx + X) (y—ß + ^) , (ß + ^+1) (y—K + X-t-1) \
(Yd"27.)(Yd"2X-pl) (Y + 2X-pl) (Y 4*2 7.-)-2) \
(ß + 7^+1) (Y—^+^+1) , f
(YR2X4-1) (Y"b2X-]-2) /
= L'(^, ß, Y; ^r) : ^(^, ß + 1, Y+l; a?),

wobei y die ÜAUSs'sche hypergeometrische Reihe und deren
analytische Fortsetzung ohne Überschreitung des Schnittes (1,+ cc)
bedeutet.
Bei der Herleitung von weiteren Formeln benutzen wir,
um die Werte Y —0, —1, —2, - - - nicht ausschliehen zu müssen,
statt der ÜAUss'schen -F-Reihe lieber die folgende, auch in Lehr-
buch, Seite 481, eingeführte Reihe:

ü Diese Formel kann auch mit Hilfe von Satz 4 bewiesen werden. Führt man
wie Lehrbuch, Seite 296, das Zeichen cp(ct, ß) ein und setzt
Xy = <p(x + v, ß + v), I\, = (p(K + V, ß + v+1),
so folgt aus den dortigen Rekursionsformeln leicht:
Xy==[l + (K-j-v);R] .Xy+i+(ß + v+l)a?Y(,+i,
und hieraus für positive a die obige Formel mit Hilfe von Satz 4, nachdem man die
Konvergenz des Matrixproduktes etwa aus dem Kriterium in Satz 9 erschlossen hat.
Für negative a ist noch eine leicht ersichtliche Modifikation erforderlich.

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