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https://doi.org/10.11588/diglit.34886#0013
Neue Beiträge zur Fiächentheorie.
(A.l) 5
sich dies ermöglichen lassen. Der Bereich der Lehrsätze, die
für reeüe DoL/izreiAe^, das heißt für Potenzreihen mit reellen
Koeffizienten und reellen Veränderlichen, gelten, ist nämlich er-
heblich größer, als man früher annahm; zum Beispiel lassen sich,
im Gegensatz zu einer vielfach vertretenen Ansicht, die Aufgaben,
den Rest einer reellen Potenzreihe abzuschätzen und ihren wahren
Konvergenzradius zu bestimmen, unter Beschränkung auf das reelle
Gebiet lösenh
Einen ersten Aufschluß über die Beziehung zwischen dem
Anfangsglied
^ + 2^^^ + ^02^
der Potenzreihe z und der ganzen Reihe gibt der folgende Lehrsatz.
Lehrsatz I. Die reeiie PeAeTtzreiAe
00 00
z = ^ (x + 7, A2)
x=o
^ei /Ar j a;} < c, ] y ] V v M7iAedi7?g? AonnergefA. ^eDe, M^der p
ei/ze pusVice Drö/ie cer^eAe/id, die Aiei/ter %D o n/?-d v gewdAd DL
% = p cos <p , p = p sin cp
M%d 5e.$cArd7zAe die Eerd/zderiicAe cp cm/ em ^oicAe^ Dderonü
?1 V cp < (Dg ,
dnA dnri^
^0 cos^ cp + 2n^ cos cp sin cp + ^ sin' cp : > A
wo A ei%e po^dice AedetdeA Dn^n- giA^ e^ ei/te po^dice
GrA/le po, Aiei/zer c^D c n^d T, dnA /Ar de% DereicA der reeiie^ Fer-
d?zderiicAe^ a: mzd p, i% dew
0 < p < pQ , cp^ < cp < cpg
DA die GieicAtmg Ae^LA^
2 = Zg [l + h(a:,p) C ]/l Zg }] ;
Aieri/z AedeML^ D eDe AoTTdarde, n^zd e^ D^ ]h(a:, p)]<l.
* Vgl. meine Abhandlung: ADer .Po^enjsredzen pon /neArere^ Ferander-
h'cAen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 15, 1906,
8.577.
(A.l) 5
sich dies ermöglichen lassen. Der Bereich der Lehrsätze, die
für reeüe DoL/izreiAe^, das heißt für Potenzreihen mit reellen
Koeffizienten und reellen Veränderlichen, gelten, ist nämlich er-
heblich größer, als man früher annahm; zum Beispiel lassen sich,
im Gegensatz zu einer vielfach vertretenen Ansicht, die Aufgaben,
den Rest einer reellen Potenzreihe abzuschätzen und ihren wahren
Konvergenzradius zu bestimmen, unter Beschränkung auf das reelle
Gebiet lösenh
Einen ersten Aufschluß über die Beziehung zwischen dem
Anfangsglied
^ + 2^^^ + ^02^
der Potenzreihe z und der ganzen Reihe gibt der folgende Lehrsatz.
Lehrsatz I. Die reeiie PeAeTtzreiAe
00 00
z = ^ (x + 7, A2)
x=o
^ei /Ar j a;} < c, ] y ] V v M7iAedi7?g? AonnergefA. ^eDe, M^der p
ei/ze pusVice Drö/ie cer^eAe/id, die Aiei/ter %D o n/?-d v gewdAd DL
% = p cos <p , p = p sin cp
M%d 5e.$cArd7zAe die Eerd/zderiicAe cp cm/ em ^oicAe^ Dderonü
?1 V cp < (Dg ,
dnA dnri^
^0 cos^ cp + 2n^ cos cp sin cp + ^ sin' cp : > A
wo A ei%e po^dice AedetdeA Dn^n- giA^ e^ ei/te po^dice
GrA/le po, Aiei/zer c^D c n^d T, dnA /Ar de% DereicA der reeiie^ Fer-
d?zderiicAe^ a: mzd p, i% dew
0 < p < pQ , cp^ < cp < cpg
DA die GieicAtmg Ae^LA^
2 = Zg [l + h(a:,p) C ]/l Zg }] ;
Aieri/z AedeML^ D eDe AoTTdarde, n^zd e^ D^ ]h(a:, p)]<l.
* Vgl. meine Abhandlung: ADer .Po^enjsredzen pon /neArere^ Ferander-
h'cAen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 15, 1906,
8.577.