Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

22 (A. 1)

PAUL STACHEL:

kommt, lediglich das Glied P"?/", folglich hat die Potenzreihe
die Eigenschaft, an Gliedern, in denen nur ?) vor-
kommt, genau das Glied 7/" aufzuweisen. Man überzeugt sich leicht,
daß der Nachweis der gewünschten Zerlegung für die Potenz-
reihe ausreicht, um die Zerlegbarkeit von y)
zu sichern. Mithin ist es erlaubt, von vornherein anzunehmen, daß
gege&e??,eH, y) die FugeHvcAa/^
&7?2 A?e^rage nacA un^grAa^ emgr ggwN^gTA
NcArnnAe g zu ^gggn; da y^ den Koeffizienten 1 hat, ist

§ 12
Formale Durchführung der Zerlegung

Nach den vorbereitenden Umgestaltungen erscheint die zu
zerlegende Potenzreihe in der Form

00

= 2/" + Z
X=1

hierin bezeichnen die Koeffizienten G.^(y) gewöhnliche Potenz-
reihen von y. Die zu beweisende Identität läßt sich alsdann in
der Form darstellen:

2/"' + Z &x(2/)^ -

x=l

^ + Z ^/.(2/M

1 + Z (^/)'

[L=l

die Koeffizienten @^(y) sind ganze rationale Funktionen von y,
höchstens vom Grade m—1, die Koeffizienten iR.^(y) gewöhnliche
Potenzreihen von y.
Nach Ausführung der Multiplikation müssen die Koeffizien-
ten gleicher Potenzen von % auf beiden Seiten gleich sein. Dies
gibt sogleich
&xM = ^x(.v) + .2/"' - 9h<(y) + Z
X+{i=x
Da die Zeiger X und ^ mindestens gleich 1 sind, so besteht die
Summe auf der rechten Seite aus x—1 Gliedern, deren Zeiger X
und p. alle kleiner als x sind. Hat man also die Koeffizienten
@j^(y) und 9?^(y) ermittelt, in denen X und ^ kleiner als x sind,
so kennt man auch die Potenzreihe