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https://doi.org/10.11588/diglit.34886#0038
30 (A.l)
PAUL STÄCKEL:
Bei dem zwehezz Fer/aArezz wird der Ausdruck für die Krüm-
mung einer beliebigen Raumkurve zur Berechnung der Krümmung
eines Normalschnittes in P benutzt. Indem man nach den grö/iFzz
und AFzzz^ezz Wezdezz der Aräuzzzzazzg ezzze^ A^orzzzaNcAzzz^e^ fragt,
wird man auf die Hauptkrümmungshalbmesser und die zugehörigen
Haupttangenten geführt.
Ein neuer Ansatz
Im folgenden soll ein drzMe^ Fer/aArezz angegeben werden, das
unmittelbar an den Artikel 8 der PNgaNhzozze^ gezzerafe^ czrca
^zzper/zcze^ czzrca.y i^on Q. F. GAuss anknüpft. Wie GAuss hier
bemerkt, kann man es durch die Wahl des Punktes P als Anfangs-
punkt und geeigneter Koordinatenachsen vp ^ leicht bewerk-
stelligen, daß die krumme Fläche in der Umgebung des Punktes P
durch die Gleichung
(3)
dargestellt wird, wo G der Inbegriff der Glieder von höherer als
der zweiten Ordnung sein wird. Durch diese Forderung werden
die Haupttangenten in P als die und 7]-Achse erklärt und gleich-
zeitig ergeben sich die Hauptkrümmungen als die Koeffizienten
Fi und Pg von AF und A^. Für die Krümmung P des Normal-
schnittes, dessen Spur in der berührenden Ebene mit der Achse
den Winkel ^ bildet, findet man aus der Gleichung (3) sogleich
die klassische Formel von EuLER:
E
F = Fi cos^cp + Fa siiP<p,
und gewinnt daraus die Maximal- und Minimaleigenschaften der
Hauptkrümmungshalbmesser.
Um, auf dem GAuss sehen Wege vorgehend, die Krümmungs-
lehre zum Abschluß zu bringen, hat man daher nur noch folgende
Frage zu beantworten: IFze fa&yezz McA azz.$ der GdezcAzzzzg (3), &ez der
dze F^äcAe azz/ da^ degFhezzde DrezAazz^ de^eAerzd azz^ dezz PazzpE
^azzgezz^ezz azzd der TVarzzzaF Aezogezz dze GFzcAzzzzgezz (1) zzzzd (2)
Aer/ehezz, dez dezzezz ezzz dePedzge^ AoordzzzaFzz^y^ezzz der zr, y, z
^agrazzde geFg^ udrd?
Wie man die Gleichungen anzusetzen hat, die zur Beant-
wortung dieser Frage dienen, liegt auf der Hand. Man erhält
PAUL STÄCKEL:
Bei dem zwehezz Fer/aArezz wird der Ausdruck für die Krüm-
mung einer beliebigen Raumkurve zur Berechnung der Krümmung
eines Normalschnittes in P benutzt. Indem man nach den grö/iFzz
und AFzzz^ezz Wezdezz der Aräuzzzzazzg ezzze^ A^orzzzaNcAzzz^e^ fragt,
wird man auf die Hauptkrümmungshalbmesser und die zugehörigen
Haupttangenten geführt.
Ein neuer Ansatz
Im folgenden soll ein drzMe^ Fer/aArezz angegeben werden, das
unmittelbar an den Artikel 8 der PNgaNhzozze^ gezzerafe^ czrca
^zzper/zcze^ czzrca.y i^on Q. F. GAuss anknüpft. Wie GAuss hier
bemerkt, kann man es durch die Wahl des Punktes P als Anfangs-
punkt und geeigneter Koordinatenachsen vp ^ leicht bewerk-
stelligen, daß die krumme Fläche in der Umgebung des Punktes P
durch die Gleichung
(3)
dargestellt wird, wo G der Inbegriff der Glieder von höherer als
der zweiten Ordnung sein wird. Durch diese Forderung werden
die Haupttangenten in P als die und 7]-Achse erklärt und gleich-
zeitig ergeben sich die Hauptkrümmungen als die Koeffizienten
Fi und Pg von AF und A^. Für die Krümmung P des Normal-
schnittes, dessen Spur in der berührenden Ebene mit der Achse
den Winkel ^ bildet, findet man aus der Gleichung (3) sogleich
die klassische Formel von EuLER:
E
F = Fi cos^cp + Fa siiP<p,
und gewinnt daraus die Maximal- und Minimaleigenschaften der
Hauptkrümmungshalbmesser.
Um, auf dem GAuss sehen Wege vorgehend, die Krümmungs-
lehre zum Abschluß zu bringen, hat man daher nur noch folgende
Frage zu beantworten: IFze fa&yezz McA azz.$ der GdezcAzzzzg (3), &ez der
dze F^äcAe azz/ da^ degFhezzde DrezAazz^ de^eAerzd azz^ dezz PazzpE
^azzgezz^ezz azzd der TVarzzzaF Aezogezz dze GFzcAzzzzgezz (1) zzzzd (2)
Aer/ehezz, dez dezzezz ezzz dePedzge^ AoordzzzaFzz^y^ezzz der zr, y, z
^agrazzde geFg^ udrd?
Wie man die Gleichungen anzusetzen hat, die zur Beant-
wortung dieser Frage dienen, liegt auf der Hand. Man erhält