Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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ALFRED LOEWY:

Ehe wir uns zu der neuen Zerlegung eines Differentialaus-
druckes in aufeinanderfolgende vordere größte vollständig redu-
zible Faktoren wenden, machen wir einjge Bemerkungen über
adjnngierte Differentialausdrücke. Ist irgend ein linearer homo-
gener Differentialausdruck, so soll unter () der ihm adjnngierte
Differentialausdrnck verstanden werden,
ist
^ ?0 7 „ + dl , „-1 +-^ i
da: da:

so ist der adjnngierte Differentialausdruck:

(f(dod) _ d" d"
dar" da:""^ da?^"^

(-Ifd.d -

Die Beziehung ist eine symmetrische, d. h. der adjnngierte Diffe-
rentialausdruck von () ist ().
Wir verwenden im folgenden em bekanntes Theorem von
Herrn FROBENiusi, das besagt: Ist (W7W, so ist Mit
seiner Hilfe beweisen wir zunächst den folgenden Satz (u), der
später noch verallgemeinert werden wird:
Satz (a): Ist ein Differentialausdruck 7 vollständig
reduzibel, so hat sein adjungierter 7 die gleiche Eigen-
schaft.
Der lineare homogene Differentialausdruck 7 sei imllständig
reduzibel, d. h. 7 sei kleinstes gemeinsames Vielfaches von irre-
duziblen Differentialausdrücken. Diese seien mit 7^, 7g, - - -
bezeichnet und derart gewählt, was stets möglich ist, daß die
Ordnung von 7 gleich der Summe der Ordnungen von 7^, 7g, ---, 7,
ist. Nun kann man 7 in den Formen darstellen:
(13) -
wobei TVi ein kleinstes gemeinsames Vielfache von 7g, 7g, - - -, 7.,
Wg ein kleinstes gemeinsames Vielfache von 7i, 7g, - - 7. usw.,

^ FROBENius, Journ. f. r. u. ang. Math. 76, 263 (1873), vgl. auch die
Darstellung bei LuDW. ScnLEsiNGER, Handbuch der Theorie der linearen
Differentialgleichungen, Bd. I, 8. 55ff., Leipzig 1895.