Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zerlegungen eines linearen homogenen Differentialausdruckes. (A. 8) 9

TV, ein kleinstes gemeinsames Vielfache von 7i, 7g, - - 7,_i ist,
Ai, Ag, - - -, Ag bedeuten irreduzible Differentialausdrücke, die
mit ./i bezw. 7g usw. bezw. 7, von derselben Art sind. Nach dem
zitierten FROBENiusschen Satz wird
(14) r = AiAi-AgAg-----A,Ag, d.b.
der Differentialausdruck 7 ist durch jeden der Differentialaus-
drücke Ai, Ag, - - -, Ag, also auch durch ein kleinstes gemeinsames
Vielfaches von ihnen, das wir mit F bezeichnen wollen, von hinten
teilbar. Mithin existiert ein Differentialausdruck N, für den
(15) L = N F wird.
Da Ai, Ag, Ag irreduzible Differentialausdrücke sind,
trifft das gleiche auch für Ag, -**, Ag zu; denn wäre A^, wobei
/' eine der Zahlen 1,2,---,^ bedeutet, reduzibel, so würde nach
dem erwähnten FROBENiusschen Satz auch der zu Ah adjungierte
Differentialausdruck A^, der irreduzibel ist, reduzibel sein müssen.
Da Ai, Ag,---,Ag irreduzibele Differentialausdrücke sind, ist ihr
kleinstes gemeinsames Vielfaches F ein vollständig reduzibler
Differentialausdruck. Da dieses durch jeden der Differentialaus-
drücke Ai, Ag,---, A, hinten teilbar ist, existieren Differential-
ausdrücke Li, Lg, - - -, Lg, so daß F = Li Ai, F = Lg Ag, - - -,
F=L,A. wird. Aus diesen Gleichungen folgt nach (15)
(16) L-NLiAi, L-NLgAg,L = NL.Ag.
Nun war nach (14) L=AiAi, L=AgAg,---, L=AgAg.
Folglich ergeben sich die Relationen:
(17) Ai = NLi, Vg = NLg, TVg-NLg.
Aus ihnen erhält man durch Übergang zu den adjungierten
Differentialausdrücken:
(18) TVi-LiA, Ag = LgA, ... Ag = LgA.
Da L als Ordnung die Summe der Ordnungen von 7i, 7g, - - *, 7.
hat, besitzen offenbar Ai, Ag, - * *, Ag als kleinste gemeinsame
Vielfache von 7g, 7g, - - 7g bezw. 7i, 7g, * - 7, usw. bezw.