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https://doi.org/10.11588/diglit.36391#0010
10 (A.8)
ALFRED LOEWY:
Ji, Vgi ' * keinen allen gemeinsamen Teiler; daher muß sich
A in den Formeln (18) auf eine bloße Funktion von ^ reduzieren,
also A=g(;r), woraus auch A=g(%) folgt. Mithin unterscheidet sich F,
wie aus (15) hervorgeht, von einem kleinsten gemeinsamen Viel-
fachen F der irreduziblen Differentialausdrücke A\, A^, - - A^
nur um einen Faktor g-(^), der eine bloße Funktion von ^ ist,
d h. F seihst ist kleinstes gemeinsames Vielfaches von irre-
duziblen Differentialausdrücken und also vollständig reduzibel.
Hiermit ist die von uns ausgesprochene Behauptung bewiesen.
Definition. Hat man einen Differentialausdruck (?,
so heißt Tf ein vorderer größter vollständig reduzihler
Differentialausdruck, der zu (1 gehört, wenn TH erstens
vollständig reduzibel ist, zweitens di den Differential-
ausdruck () vorn teilt und drittens di durch jeden irre-
duziblen Differentialausdruck, der () vorn teilt, eben-
falls vorn geteilt wird.
Die Existenz eines solchen Differentialausdruckes di ergibt
sich folgendermaßen: Wir bilden den zu (1 adjungierten Differen-
tialausdruck und betrachten einen hinteren größten vollständig
reduziblen Differentialausdruck, der zu gehört; ein solcher sei
F. Alsdann ist <2=üi^- Hieraus erhält man durch Übergang zu
den adjungierten Differentialausdrücken
(19) (2 - T(2i-
Wir behaupten, daß F ein vorderer größter vollständig redu-
zibler Differentialausdruck ist, der zu <2 gehört. Aus der vollstän-
digen Reduzibilität von F folgt nach dem zuletzt bewiesenen
Satze (a) diejenige von F, weiter teilt F, wie (19) zeigt, den Diffe-
rentialausdruck <2 vorn und schließlich hat F auch die dritte Eigen-
schaft, die für einen vorderen größten vollständig reduziblen
Differentialausdruck von (1 stattfinden sollte. Ist nämlich F ein
irreduzibler Differentialausdruck, der <2 vorn teilt, also <2 = ^^ü
so teilt F auch F vorn. Zunächst folgt aus <2 = CF die weitere
Relation <2 =FF. Da F irreduzibel sein soll, trifft dies auch für F
zu, und man hat in F einen irreduziblen hinteren Teiler von () vor
sich. Ein solcher muß aber einen hinteren größten vollständig
reduziblen Differentialausdruck F, der zu (7 gehört, hinten teilen,
so daß eine Relation F = F^F besteht. Aus dieser folgt F = FFi,
ALFRED LOEWY:
Ji, Vgi ' * keinen allen gemeinsamen Teiler; daher muß sich
A in den Formeln (18) auf eine bloße Funktion von ^ reduzieren,
also A=g(;r), woraus auch A=g(%) folgt. Mithin unterscheidet sich F,
wie aus (15) hervorgeht, von einem kleinsten gemeinsamen Viel-
fachen F der irreduziblen Differentialausdrücke A\, A^, - - A^
nur um einen Faktor g-(^), der eine bloße Funktion von ^ ist,
d h. F seihst ist kleinstes gemeinsames Vielfaches von irre-
duziblen Differentialausdrücken und also vollständig reduzibel.
Hiermit ist die von uns ausgesprochene Behauptung bewiesen.
Definition. Hat man einen Differentialausdruck (?,
so heißt Tf ein vorderer größter vollständig reduzihler
Differentialausdruck, der zu (1 gehört, wenn TH erstens
vollständig reduzibel ist, zweitens di den Differential-
ausdruck () vorn teilt und drittens di durch jeden irre-
duziblen Differentialausdruck, der () vorn teilt, eben-
falls vorn geteilt wird.
Die Existenz eines solchen Differentialausdruckes di ergibt
sich folgendermaßen: Wir bilden den zu (1 adjungierten Differen-
tialausdruck und betrachten einen hinteren größten vollständig
reduziblen Differentialausdruck, der zu gehört; ein solcher sei
F. Alsdann ist <2=üi^- Hieraus erhält man durch Übergang zu
den adjungierten Differentialausdrücken
(19) (2 - T(2i-
Wir behaupten, daß F ein vorderer größter vollständig redu-
zibler Differentialausdruck ist, der zu <2 gehört. Aus der vollstän-
digen Reduzibilität von F folgt nach dem zuletzt bewiesenen
Satze (a) diejenige von F, weiter teilt F, wie (19) zeigt, den Diffe-
rentialausdruck <2 vorn und schließlich hat F auch die dritte Eigen-
schaft, die für einen vorderen größten vollständig reduziblen
Differentialausdruck von (1 stattfinden sollte. Ist nämlich F ein
irreduzibler Differentialausdruck, der <2 vorn teilt, also <2 = ^^ü
so teilt F auch F vorn. Zunächst folgt aus <2 = CF die weitere
Relation <2 =FF. Da F irreduzibel sein soll, trifft dies auch für F
zu, und man hat in F einen irreduziblen hinteren Teiler von () vor
sich. Ein solcher muß aber einen hinteren größten vollständig
reduziblen Differentialausdruck F, der zu (7 gehört, hinten teilen,
so daß eine Relation F = F^F besteht. Aus dieser folgt F = FFi,