Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

12 (A. 8)

ALFRED LOEWY:

Zum Beweise unseres Satzes (b) bedenken wir, daß aus der
vollständigen Reduzibilität von 70 nach Satz (a) auch diejenige
von /O folgt. Wäre nun nicht 0^, sondern ein Differentialausdruck
7 von höherer Ordnung ein erster hinterer größter vollständig
reduzibler Differentialausdruck, der zu (7 gehört, so müßte 7
durch hinten teilbar sein, also

7 = 2770 .

(22)

Dann wäre, wie unter (19) gezeigt, 7 ein erster vorderer größ-
ter vollständig reduzibler Differentialausdruck, der zu (7 gehört,
und man hätte nach (19) eine Relation (7 = 7(0 oder nach (22)
die weitere

(7 = 700(0 -

(23)

Sei nun 7 ein irreduzibler Differentialausdruck, der den
Differentialausdruck (22)' 7 = 2770, aber nicht 70 hinten teilt;
ein solcher Differentialausdruck 7 existiert sicher, wenn der voll-
ständig reduzible Differentialausdruck 7 eine höhere Ordnung
als 70 hat. Für ein derartig bestimmtes 7 würde es also einen
Differentialausdruck 77 geben, so daß 2/Oi = Z77, aber niemals
7*i gleich 777 würde. Mithin wäre nach (23) (7 = 77/(0, d. h. (7 wäre
durch den irreduziblen Differentialausdruck 7 vorn teilbar. Da
sich aber 70 niemals in die Form 777 bringen lassen sollte, kann
70 nicht durch 7 vorn teilbar sein. Mithin ist 77, im Widerspruch
mit unserer Voraussetzung kein erster vorderer größter vollstän-
dig reduzibler Differentialausdruck, der zu (7 gehört. Folglich
kann 7 nicht von höherer Ordnung als 70 sein, und es muß sich
in (22) 27 auf eine Differentialfunktion nullter Ordnung, also eine
bloße Funktion von 3p reduzieren. Da sich demnach 7 und 70
nur um einen Faktor unterscheiden, der eine bloße Funktion von
% ist, haben wir in 70 ebenso wie in 7 einen ersten hinteren größten
vollständig reduziblen Differentialausdruck, der zu (7 gehört.
Die Fortsetzung des Beweisverfahrens ist unmittelbar klar. Da
70 ein erster vorderer größter vollständig reduzibler Differential-
ausdruck ist, der zu 70/0 - - - 7h„ gehört, kann /0 in bezug auf
ZOZO - ' ' dmn gleichen Schluß verfahren wie ZO in bezug auf
ZOZO - - - ^0 unterworfen werden. Folglich ist Og ein erster
hinterer größter vollständig reduzibler Differentialausdruck, der