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https://doi.org/10.11588/diglit.36391#0015
Zerlegungen eines linearen homogenen Differentialausdruckes. (A. 8) 15
Da ein erster hinterer größter vollständig reduzibler Dif-
ferentialausdruck ist, der zu (2 gehört, muß durch den voll-
ständig reduziblen Differentialausdruck F„, der nach (20) ein
hinterer Teiler von (7 ist, ebenfalls hinten teilbar sein. Also existiert
ein Differentialausdruck so daß
(28) Di -
wird. Führt man den Wert von F^ aus (28) in (5) ein und beachtet
hierbei die Gleichung (20), so erhält man die Relation:
(29) - "^3 ^2^1 = ^1^2
Da Dg nach Voraussetzung ein erster hinterer größter voll-
ständig reduzibler Differentialausdruck ist, der zu F; F^_i - -- FoFg
gehört, teilt ein erster hinterer größter vollständig reduzibler
Differentialausdruck, der zu dem Differentialausdruck (29)
F; F;_^ - - - Fg Fg Fi gehört, notwendig Fg wie sich folgender-
maßen ergibt: Ein erster hinterer größter vollständig reduzibler
Differentialausdruck, der zu (29) gehört, sei mit bezeichnet.
Dann ist (29) durch und also auch durch ihr hinteres
kleinstes gemeinsames Vielfaches 1F hinten teilbar. Dieses Viel-
fache 1F läßt sich in die Form bringen fF = LFi, wobei der Dif-
ferentialausdruck L infolge der vollständigen Reduzibilität von
ebenfalls vollständig reduzibel ist. Da (29), wie schon bemerkt,
durch lF = LFi hinten teilbar ist, muß das Produkt Fö F;_i---FgFa
durch L hinten teilbar sein. Nun war Fg ein erster größter
hinterer vollständig reduzibler Differentialausdruck, der zu
F^F^_i - - - FgF^a gehört, und L ein hinterer vollständig reduzibler
Teiler des genannten Produktes. Mithin muß Fg durch L, also
F^Fi durch LF\ = FF teilbar sein. Folglich muß FgF^ auch durch
den hinteren Teiler Vi von FF hinten teilbar sein, so daß sich eine
Relation ergibt
(30) F,Fi = WW,.
Da Vi ein erster hinterer größter vollständig reduzibler Differen-
tialausdruck ist, der zu dem Ausdruck (29) gehört, und da (29)
durch den vollständig reduziblen Differentialausdruck
hinten teilbar ist, muß auch Vi durch teilbar sein. Folg-
Da ein erster hinterer größter vollständig reduzibler Dif-
ferentialausdruck ist, der zu (2 gehört, muß durch den voll-
ständig reduziblen Differentialausdruck F„, der nach (20) ein
hinterer Teiler von (7 ist, ebenfalls hinten teilbar sein. Also existiert
ein Differentialausdruck so daß
(28) Di -
wird. Führt man den Wert von F^ aus (28) in (5) ein und beachtet
hierbei die Gleichung (20), so erhält man die Relation:
(29) - "^3 ^2^1 = ^1^2
Da Dg nach Voraussetzung ein erster hinterer größter voll-
ständig reduzibler Differentialausdruck ist, der zu F; F^_i - -- FoFg
gehört, teilt ein erster hinterer größter vollständig reduzibler
Differentialausdruck, der zu dem Differentialausdruck (29)
F; F;_^ - - - Fg Fg Fi gehört, notwendig Fg wie sich folgender-
maßen ergibt: Ein erster hinterer größter vollständig reduzibler
Differentialausdruck, der zu (29) gehört, sei mit bezeichnet.
Dann ist (29) durch und also auch durch ihr hinteres
kleinstes gemeinsames Vielfaches 1F hinten teilbar. Dieses Viel-
fache 1F läßt sich in die Form bringen fF = LFi, wobei der Dif-
ferentialausdruck L infolge der vollständigen Reduzibilität von
ebenfalls vollständig reduzibel ist. Da (29), wie schon bemerkt,
durch lF = LFi hinten teilbar ist, muß das Produkt Fö F;_i---FgFa
durch L hinten teilbar sein. Nun war Fg ein erster größter
hinterer vollständig reduzibler Differentialausdruck, der zu
F^F^_i - - - FgF^a gehört, und L ein hinterer vollständig reduzibler
Teiler des genannten Produktes. Mithin muß Fg durch L, also
F^Fi durch LF\ = FF teilbar sein. Folglich muß FgF^ auch durch
den hinteren Teiler Vi von FF hinten teilbar sein, so daß sich eine
Relation ergibt
(30) F,Fi = WW,.
Da Vi ein erster hinterer größter vollständig reduzibler Differen-
tialausdruck ist, der zu dem Ausdruck (29) gehört, und da (29)
durch den vollständig reduziblen Differentialausdruck
hinten teilbar ist, muß auch Vi durch teilbar sein. Folg-