Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

In dem System linearer Differentialgleichungen




(r-1,2,...,^)

mögen die Koeffizienten ^ außer von der unabhängig Variabein a:
noch von einem Parameter i abhängen. Dann ist es eine nahe-
liegende Fragestellung, in welcher Weise die Integrale von dem
Parameter ? abhängen. Unter dieses allgemeine Problem fallen
z. B. die Aufgabe, die hypergeometrische Funktion F(a,
als Funktion eines der Parameter a,^,y zu untersuchen, und viele
andere bekannte Aufgaben. Dem allgemeinen Problem beabsich-
tige ich eine Reihe von Abhandlungen zu widmen, deren erste die
gegenwärtige ist.
Wenn die Koeffizienten als Funktionen von ^ analy-
tisch sind, wird sich mit unwesentlichen Einschränkungen zeigen,
daß auch die Integrale analytische Funktionen von ? sind (§ 2).
Viel schwieriger ist das Problem für solche Werte von B für welche
die Koeffizienten singulär sind. Schon die einfachste Singularität,
ein Pol erster Ordnung, zieht für die Integrale im allgemeinen eine
wesentliche Singularität nach sich, wie bereits das Beispiel

zeigt. Hier hat der Koeffizient ^ als Funktion von % im Unend-
lichen nur einen Pol erster Ordnung; aber das Integral
y -
hat eine wesentlich singuläre Stelle, wie man auch wählen mag.
Das Verhalten der Integrale an solchen singulären Stellen wird
von § 3 an untersucht werden.

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