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https://doi.org/10.11588/diglit.36426#0009
Über die HAMILTON sehen Differentialgleichungen der Dynamik. III. (A. 7) 9
ist, sich die Werte der Kombinationen zur ersten und zweiten
Klasse vermöge (13) in der Form ergeben
dyi dy^ 8(xV 1) dyi dvg -4(x^ —7x^ —8x^)
dx^dx x^D 'dxdx x^EF
so daß die quadratische Gleichung für
dy
dx
lautet
(14) x'DÜ^G-SfxS + liD ^-4(x'-7x*-8x) = 0,
^ ^ \ d x / ' d x
oder durch Division mit 4(xWl)
(15) 4xqx=' + l)(^j-8(xUt) ^-x(x'-8) = ü.
Es möge zunächst noch zu diesem Beispiel bemerkt werden,
daß die algebraische Funktion y für x = 0 die Werte y^ = oo, y^^O
annimmt, und daß sich durch Entwicklung von y in der Um-
gebung dieses Eindeutigkeitspunktes vj = oo, V2 = 0 ergibt, was auch
unmittelbar aus der Gleichung (15) ersichtlich ist; bezeichnet je-
doch e eine Lösung der Gleichung xWl^O, wofür also die Dis-
kriminante verschwindet, so werden in dem Verzweigungspunkte
x=E sich aus (13) die beiden gleichen Werte yi=y2 = ^ und wieder-
um durch Entwicklung der y-Werte um diesen Verzweigungs-
punkt yi = y2 = °° ergeben, was auch wieder unmittelbar aus der
Gleichung (15) folgt. Die Diskriminante D' der Gleichung (15) er-
gibt sich unmittelbar in der Form
D' = 16(xS + t)(x3-2)2,
und es besteht somit zwischen den beiden Diskriminanten D und
D' der Gleichungen (13) und (15) die Beziehung
D' = 4D(x'-2)U
ist, sich die Werte der Kombinationen zur ersten und zweiten
Klasse vermöge (13) in der Form ergeben
dyi dy^ 8(xV 1) dyi dvg -4(x^ —7x^ —8x^)
dx^dx x^D 'dxdx x^EF
so daß die quadratische Gleichung für
dy
dx
lautet
(14) x'DÜ^G-SfxS + liD ^-4(x'-7x*-8x) = 0,
^ ^ \ d x / ' d x
oder durch Division mit 4(xWl)
(15) 4xqx=' + l)(^j-8(xUt) ^-x(x'-8) = ü.
Es möge zunächst noch zu diesem Beispiel bemerkt werden,
daß die algebraische Funktion y für x = 0 die Werte y^ = oo, y^^O
annimmt, und daß sich durch Entwicklung von y in der Um-
gebung dieses Eindeutigkeitspunktes vj = oo, V2 = 0 ergibt, was auch
unmittelbar aus der Gleichung (15) ersichtlich ist; bezeichnet je-
doch e eine Lösung der Gleichung xWl^O, wofür also die Dis-
kriminante verschwindet, so werden in dem Verzweigungspunkte
x=E sich aus (13) die beiden gleichen Werte yi=y2 = ^ und wieder-
um durch Entwicklung der y-Werte um diesen Verzweigungs-
punkt yi = y2 = °° ergeben, was auch wieder unmittelbar aus der
Gleichung (15) folgt. Die Diskriminante D' der Gleichung (15) er-
gibt sich unmittelbar in der Form
D' = 16(xS + t)(x3-2)2,
und es besteht somit zwischen den beiden Diskriminanten D und
D' der Gleichungen (13) und (15) die Beziehung
D' = 4D(x'-2)U