10 (A. 7)
LEO KoENIGSBERGER:
An diese für das vorliegende Beispiel gefundene Relation
möge noch eine allgemeine Bemerkung über die Beziehung der
Diskrnninante einer algebraischen Funktion einer unabhängigen
Variabein und der Diskriminante der Gleichung für die Ableitung
derselben geknüpft werden.
Zunächst ist aus der Gleichung (12) unmittelbar zu ersehen,
daß, wenn die Diskriminante D mit G^, keinen gemeinsamen Teiler
hat, die Diskriminante D' der Gleichung (12), wie aus der Dar-
stellung derselben durch die SYLVESTER-Determinante hervorgeht,
durch die Diskriminante D teilbar sein wird, wie dies in dem
obigen Beispiel in der Tat der Fall war, während für die algebra-
ische Gleichung
y^-2xy + x3 = 0,
deren Diskriminante
D = 4x'(l-x)
ist, die quadratische Gleichung für die Ableitung von y sich in
der Form ergibt
ir(^j-8x2(x-l)D ^ +4xp9x'-17x + 8) = 0,
in welcher D und x^(9x^ —17x + 8) den gemeinsamen Teiler x^(x-l)
besitzen, und deren Diskriminante
D'= 16(l-x)(9x'-12x + 4)
mit D den gemeinsamen Teiler x —1 besitzt, aber nicht durch D
teilbar ist.
Sei nun allgemein x = E, eine Lösung der Diskriminanten-
gleichung D = 0 einer algebraischen, durch eine Gleichung n^
Grades definierten Funktion y einer unabhängigen Variabein x,
und somit ein mehrfacher Punkt jener Funktion, welche einen
endlichen Wert 7) annehmen möge, so wird, wenn E ein s-facher
Verzweigungspunkt, also in dessen Umgebung
r r+1
Y = 7] + a. (x-E)' + ai (x-E)' + - - -
LEO KoENIGSBERGER:
An diese für das vorliegende Beispiel gefundene Relation
möge noch eine allgemeine Bemerkung über die Beziehung der
Diskrnninante einer algebraischen Funktion einer unabhängigen
Variabein und der Diskriminante der Gleichung für die Ableitung
derselben geknüpft werden.
Zunächst ist aus der Gleichung (12) unmittelbar zu ersehen,
daß, wenn die Diskriminante D mit G^, keinen gemeinsamen Teiler
hat, die Diskriminante D' der Gleichung (12), wie aus der Dar-
stellung derselben durch die SYLVESTER-Determinante hervorgeht,
durch die Diskriminante D teilbar sein wird, wie dies in dem
obigen Beispiel in der Tat der Fall war, während für die algebra-
ische Gleichung
y^-2xy + x3 = 0,
deren Diskriminante
D = 4x'(l-x)
ist, die quadratische Gleichung für die Ableitung von y sich in
der Form ergibt
ir(^j-8x2(x-l)D ^ +4xp9x'-17x + 8) = 0,
in welcher D und x^(9x^ —17x + 8) den gemeinsamen Teiler x^(x-l)
besitzen, und deren Diskriminante
D'= 16(l-x)(9x'-12x + 4)
mit D den gemeinsamen Teiler x —1 besitzt, aber nicht durch D
teilbar ist.
Sei nun allgemein x = E, eine Lösung der Diskriminanten-
gleichung D = 0 einer algebraischen, durch eine Gleichung n^
Grades definierten Funktion y einer unabhängigen Variabein x,
und somit ein mehrfacher Punkt jener Funktion, welche einen
endlichen Wert 7) annehmen möge, so wird, wenn E ein s-facher
Verzweigungspunkt, also in dessen Umgebung
r r+1
Y = 7] + a. (x-E)' + ai (x-E)' + - - -