Über die ÜAMiLTONSchen Differentialgleichungen der Dynamik. III. (A. 7) 11
ist, worin r>0, für x = E, endlich, oder Null oder unendlich
d x
sein können, jedenfalls aber wieder in x = $ eine s-fache Verzwei-
gung besitzen, and daher die Diskriminante D' der algebraischen
Gleichung n*^ Grades, welcher ^ genügt, ebenfalls für x = ^ ver-
schwinden. War der mehrfache Punkt ^ jedoch ein Eindeutig-
keitspunkt, gelten also für zwei Zweige derselben die Entwick-
lungen
yi = ^ + ao(x-Q^ + ai(x-Q^+W---, y2 = 7) + Xo(x-Q!W^(x-Q^+...,
worin a^ und sind, so werden, wenn m>l und sind,
die beiden zugehörigen Werte der Ableitung für x = E, den gleichen
Wert 0 annehmen und ebenso für m = l, p=l, wenn aQ = KQ in den
einen Wert aQ zusammenfallen, und somit x = E, wieder der Glei-
chung D' = 0 genügen, während für m>l, g = l; m = l, g>l und
m = l, g = l, wenn aQ#=<Xo, x = E, ein einfacher Punkt für ist und
daher die Diskriminante D' nicht zu Null macht.
Ist jedoch für die Lösung E, der Diskriminantengleichung D = 0
der Wert y=oo und wieder ein s-facher Verzweigungspunkt, lautet
also die Entwicklung von y in der Umgebung dieses Punktes, in
dem die algebraische Funktion von einer endlichen Ordnung un-
endlich wird,
p p-i 1
y=a_p(x-Q * + a_p+i(x-E) ' + -.. + ao+a^(x-Q' + --.,
so werden sonst verschiedene Werte der Ableitung für x = ^ in den
gemeinsamen Wert unendlich zusammenfallen, und somit wieder
D'(^=ü sein, indem in diesem Falle die beiden ersten Koeffizien-
ten der für ^ bestehenden algebraischen Gleichung für x = E, den
Wert Null annehmen und daher deren Diskriminante, wie aus
deren Ausdruck durch die SYLVESTER-Determinante zwischen der
Gleichung für die gegebene algebraische Funktion und der für
deren Ableitung unmittelbar ersichtlich ist, den Wert Null an-
nimmt. Ist jedoch der Wert x=^, für den y unendlich werden
soll, ein mehrfacher Eindeutigkeitspunkt, sind also die Entwick-
lungen von y^ und y^ in der Umgebung von x = E,
ist, worin r>0, für x = E, endlich, oder Null oder unendlich
d x
sein können, jedenfalls aber wieder in x = $ eine s-fache Verzwei-
gung besitzen, and daher die Diskriminante D' der algebraischen
Gleichung n*^ Grades, welcher ^ genügt, ebenfalls für x = ^ ver-
schwinden. War der mehrfache Punkt ^ jedoch ein Eindeutig-
keitspunkt, gelten also für zwei Zweige derselben die Entwick-
lungen
yi = ^ + ao(x-Q^ + ai(x-Q^+W---, y2 = 7) + Xo(x-Q!W^(x-Q^+...,
worin a^ und sind, so werden, wenn m>l und sind,
die beiden zugehörigen Werte der Ableitung für x = E, den gleichen
Wert 0 annehmen und ebenso für m = l, p=l, wenn aQ = KQ in den
einen Wert aQ zusammenfallen, und somit x = E, wieder der Glei-
chung D' = 0 genügen, während für m>l, g = l; m = l, g>l und
m = l, g = l, wenn aQ#=<Xo, x = E, ein einfacher Punkt für ist und
daher die Diskriminante D' nicht zu Null macht.
Ist jedoch für die Lösung E, der Diskriminantengleichung D = 0
der Wert y=oo und wieder ein s-facher Verzweigungspunkt, lautet
also die Entwicklung von y in der Umgebung dieses Punktes, in
dem die algebraische Funktion von einer endlichen Ordnung un-
endlich wird,
p p-i 1
y=a_p(x-Q * + a_p+i(x-E) ' + -.. + ao+a^(x-Q' + --.,
so werden sonst verschiedene Werte der Ableitung für x = ^ in den
gemeinsamen Wert unendlich zusammenfallen, und somit wieder
D'(^=ü sein, indem in diesem Falle die beiden ersten Koeffizien-
ten der für ^ bestehenden algebraischen Gleichung für x = E, den
Wert Null annehmen und daher deren Diskriminante, wie aus
deren Ausdruck durch die SYLVESTER-Determinante zwischen der
Gleichung für die gegebene algebraische Funktion und der für
deren Ableitung unmittelbar ersichtlich ist, den Wert Null an-
nimmt. Ist jedoch der Wert x=^, für den y unendlich werden
soll, ein mehrfacher Eindeutigkeitspunkt, sind also die Entwick-
lungen von y^ und y^ in der Umgebung von x = E,