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https://doi.org/10.11588/diglit.36426#0022
22 (A. 7)
LEO IvOEAIGSBERGER:
Konstanten a ebenfalls sämtlich endlich sein; ferner darf aber
auch keine der Diskriminanten der algebraischen Gleichungen,
welche 'die Funktionen
A
'A
otß
cxß
3U
7! 1-1
definieren, für eben jenes Wertesystem verschwinden, wenn V
eine einfache endliche Lösung der Gleichung (9) sein soll. Denn,
wenn auch nur eine derselben den Wert Null annimmt, so wer-
den diejenigen Werte der Lösungen v der Gleichung (6) für jenes
Wertesystem einander gleich werden, welche denselben Zweigen
aller andern dieser Größen zugehören und nur einem anderen
Zweige dieser einen, deren Diskriminante verschwindet, und
wenn umgekehrt zwei Werte von v für jenes Wertesystem ein-
ander gleich sind, so werden zwei Zweige mindestens einer jener
Größen für das bezeichnete Wertesystem einander gleich sein
müssen, also deren Diskriminante Null werden. Damit also G eine
einfache und endliche Lösung der Gleichung (9) ist, ist not-
wendig und hinreichend, daß keine der Diskriminanten der alge-
braischen Gleichungen, welchen die Größen (y) genügen, für das
gegebene Wertesystem verschwindet, und keine dieser Größen un-
endlich wird. Da aber ^ ^ wj, wenn (A^ß) endlich ist, nur dann
unendlich werden kann, wenn die zu A^ gehörige Diskriminante
für jenes Wertesystem verschwindet*, so wird V dann und
nur dann eine endliche und einfache Lösung der
Gleichung (9) sein, wenn keine der zu den Größen
(y) g e h ö r i g e n Diskrim inan ten für das W e r t e s y s t e m
v, zy, ...7iy verschwindet, und keine der Größen (AW
u n d
unendlich wird.
hinter diesen Voraussetzungen lassen sich aber die Größen (y)
als Lösungen der ihnen zugehörigen algebraischen Gleichungen
bekanntlich in Reihen entwickeln, welche nach positiven steigen-
den ganzen Potenzen von t —T, p^—-ny, ...p,j -zy fortschreiten —
wobei jedoch zu bemerken ist, daß dies auch der Fall sein kann,
wenn eine der Diskriminanten verschwindet —, und es werden so-
i Vergi. die Auseinandersetzungen des Abschnittes 8.
LEO IvOEAIGSBERGER:
Konstanten a ebenfalls sämtlich endlich sein; ferner darf aber
auch keine der Diskriminanten der algebraischen Gleichungen,
welche 'die Funktionen
A
'A
otß
cxß
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definieren, für eben jenes Wertesystem verschwinden, wenn V
eine einfache endliche Lösung der Gleichung (9) sein soll. Denn,
wenn auch nur eine derselben den Wert Null annimmt, so wer-
den diejenigen Werte der Lösungen v der Gleichung (6) für jenes
Wertesystem einander gleich werden, welche denselben Zweigen
aller andern dieser Größen zugehören und nur einem anderen
Zweige dieser einen, deren Diskriminante verschwindet, und
wenn umgekehrt zwei Werte von v für jenes Wertesystem ein-
ander gleich sind, so werden zwei Zweige mindestens einer jener
Größen für das bezeichnete Wertesystem einander gleich sein
müssen, also deren Diskriminante Null werden. Damit also G eine
einfache und endliche Lösung der Gleichung (9) ist, ist not-
wendig und hinreichend, daß keine der Diskriminanten der alge-
braischen Gleichungen, welchen die Größen (y) genügen, für das
gegebene Wertesystem verschwindet, und keine dieser Größen un-
endlich wird. Da aber ^ ^ wj, wenn (A^ß) endlich ist, nur dann
unendlich werden kann, wenn die zu A^ gehörige Diskriminante
für jenes Wertesystem verschwindet*, so wird V dann und
nur dann eine endliche und einfache Lösung der
Gleichung (9) sein, wenn keine der zu den Größen
(y) g e h ö r i g e n Diskrim inan ten für das W e r t e s y s t e m
v, zy, ...7iy verschwindet, und keine der Größen (AW
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unendlich wird.
hinter diesen Voraussetzungen lassen sich aber die Größen (y)
als Lösungen der ihnen zugehörigen algebraischen Gleichungen
bekanntlich in Reihen entwickeln, welche nach positiven steigen-
den ganzen Potenzen von t —T, p^—-ny, ...p,j -zy fortschreiten —
wobei jedoch zu bemerken ist, daß dies auch der Fall sein kann,
wenn eine der Diskriminanten verschwindet —, und es werden so-
i Vergi. die Auseinandersetzungen des Abschnittes 8.