Über die HAMiLTox sehen Differentialgleichungen der Dynamik. III. (A. 7) 27
Da sich aber für das Wertesystem t = T, p^ = "p der Voraus-
setzung nach die einfache und unendlich große Lösung der Glei-
chung (9), also die Lösung ü^O der Gleichung r(ui) = 0 ergeben
sollte, so werden nunmehr die Integrale des Differentialgleichungs-
systems (18) zu untersuchen sein, welche für t = T die Werte
Xi, ...x,^,0 annehmen, wobei der Annahme nach
go - - - w) = 0, gi(T, vq,... a) t 0 ,
und daher Uq = 0 eine einfache Lösung der Gleichung
r(0i,T,7Ti,...7^, a) - 0
ist. Da sich aber hiernach u^ in der Umgebung der Werte t = -r, p- = 7r,,
in eine eindeutige Potenzreihe der Differenzen t —v, Pp —7v ent-
wickeln läßt, die kein von diesen Differenzen freies Glied enthält,
und durch Substitution dieser Reihenentwicklung für rq in die
ersten 2g Differentialgleichungen (18) für die rechten Seiten der-
selben als Koeffizienten der q und q" eindeutige Potenzreihen von
t —T, Pp —sich ergeben, die im allgemeinen nach (17), da
gi(q-nq,...^, a)±0, konstante Glieder besitzen, während H(uJ
nach (15) für t = T, Pa^7rp, rq = 0 verschwindet, also in eine von
einem konstanten Gliede freie eindeutige Potenzreihe von t-T,Pp-7v
übergeht, so gelangen wir zu einem System von Differentialglei-
chungen
d p
P
(p = l,2,...p
dt
Sß
(19)
d q
ßW' q')+..+ ißGG + sßö^ q^ q^_L
-+iß^Gq q +
' p qj.-i ^p
dt iß
worin die ißp eindeutige Potenzreihen von t —T, p,—7:p sind, und
die Potenzreihe iß kein von diesen Differenzen freies Glied enthält.
Nun ist aber leicht zu sehen, daß in der Entwicklung der
rechten Seiten der 2p ersten Differentialgleichungen (18) nach
Potenzen von t —T,Pp —i^q^ —Xp,iq die von diesen Differenzen
freien Glieder, da nach (17)
Da sich aber für das Wertesystem t = T, p^ = "p der Voraus-
setzung nach die einfache und unendlich große Lösung der Glei-
chung (9), also die Lösung ü^O der Gleichung r(ui) = 0 ergeben
sollte, so werden nunmehr die Integrale des Differentialgleichungs-
systems (18) zu untersuchen sein, welche für t = T die Werte
Xi, ...x,^,0 annehmen, wobei der Annahme nach
go - - - w) = 0, gi(T, vq,... a) t 0 ,
und daher Uq = 0 eine einfache Lösung der Gleichung
r(0i,T,7Ti,...7^, a) - 0
ist. Da sich aber hiernach u^ in der Umgebung der Werte t = -r, p- = 7r,,
in eine eindeutige Potenzreihe der Differenzen t —v, Pp —7v ent-
wickeln läßt, die kein von diesen Differenzen freies Glied enthält,
und durch Substitution dieser Reihenentwicklung für rq in die
ersten 2g Differentialgleichungen (18) für die rechten Seiten der-
selben als Koeffizienten der q und q" eindeutige Potenzreihen von
t —T, Pp —sich ergeben, die im allgemeinen nach (17), da
gi(q-nq,...^, a)±0, konstante Glieder besitzen, während H(uJ
nach (15) für t = T, Pa^7rp, rq = 0 verschwindet, also in eine von
einem konstanten Gliede freie eindeutige Potenzreihe von t-T,Pp-7v
übergeht, so gelangen wir zu einem System von Differentialglei-
chungen
d p
P
(p = l,2,...p
dt
Sß
(19)
d q
ßW' q')+..+ ißGG + sßö^ q^ q^_L
-+iß^Gq q +
' p qj.-i ^p
dt iß
worin die ißp eindeutige Potenzreihen von t —T, p,—7:p sind, und
die Potenzreihe iß kein von diesen Differenzen freies Glied enthält.
Nun ist aber leicht zu sehen, daß in der Entwicklung der
rechten Seiten der 2p ersten Differentialgleichungen (18) nach
Potenzen von t —T,Pp —i^q^ —Xp,iq die von diesen Differenzen
freien Glieder, da nach (17)