44 (A. 7)
LEO KOEMCSBEROEH:
stanten Koeffizienten nicht aus der Summe herausfallen; die zur
Bestimmung der Ordnungszahl 0 angenommenen Beziehungen
zwischen den Ordnungszahlen m^ der Xp müssen dann durch die
Auflösungen der linearen Gleichungen (2) erfüllt werden, wenn
diese die gesuchten Ordnungszahlen sein sollen.
Wie die Zahlenf'ormen (3) miteinander zu vergleichen sind,
möge an dem Falle von Potenzreihen, welche von zwei Variahein
Xi und Xg ahhängen, näher erläutert werden.
Denkt man sich die von einer Konstanten freie Potenzreihe
nach ganzen homogenen Funktionen des ersten, zweiten, dritten
usw. Grades von Xi und Xg geordnet, so werden die Ordnungs-
zahlen der Posten dieser einzelnen homogenen Funktionen in der
Form
dargestellt
sein
nii
"G
2mi
mi+nia
2 mg
3nii
2nr^+mg
mi+
2 mg
3 mg
xnii (x-
Qm^+mg (3
-2) nii+
2 mg.
(x-p^mi+pnig
(x-p-1
)mi+(p+l)m2
l)np
x m, + nig (:
z-k) u^+
2 m.g.
. . ^X+l— 111^+ p iYlp
(x+l-p-f
)m^+(p+l)mg
unter denen nun die kleinste zu suchen ist. Mögen nun die Ko-
effizienten der ersten x —1 homogenen Funktionen und die der
homogenen Funktion x^ Grades bis zum Gliede x^x^ den Wert
Null haben, so daß in dem obigen Schema das erste von Null ver-
schiedene Glied (x —p)nii+pm2 ist. Weil jedes Glied des Schemas
für willkürliche m^ und mg kleiner ist als alle nach unten folgen-
den Glieder derselben Vertikalreihe und, unter der Annahme, daß
niiCim ist, zugleich kleiner als alle nach rechts folgenden Glieder
derselben Horizontalreihe, so kommen bei der Aufsuchung der klein-
sten Zahl des Schemas alle Glieder rechts und unterhalb der Zahl
(x — p)m^+pm2 nicht mehr in Betracht, und es bleiben sonach mit
dieser Zahl nur die Zahlen des nachfolgenden Schemas zu ver-
gleichen
LEO KOEMCSBEROEH:
stanten Koeffizienten nicht aus der Summe herausfallen; die zur
Bestimmung der Ordnungszahl 0 angenommenen Beziehungen
zwischen den Ordnungszahlen m^ der Xp müssen dann durch die
Auflösungen der linearen Gleichungen (2) erfüllt werden, wenn
diese die gesuchten Ordnungszahlen sein sollen.
Wie die Zahlenf'ormen (3) miteinander zu vergleichen sind,
möge an dem Falle von Potenzreihen, welche von zwei Variahein
Xi und Xg ahhängen, näher erläutert werden.
Denkt man sich die von einer Konstanten freie Potenzreihe
nach ganzen homogenen Funktionen des ersten, zweiten, dritten
usw. Grades von Xi und Xg geordnet, so werden die Ordnungs-
zahlen der Posten dieser einzelnen homogenen Funktionen in der
Form
dargestellt
sein
nii
"G
2mi
mi+nia
2 mg
3nii
2nr^+mg
mi+
2 mg
3 mg
xnii (x-
Qm^+mg (3
-2) nii+
2 mg.
(x-p^mi+pnig
(x-p-1
)mi+(p+l)m2
l)np
x m, + nig (:
z-k) u^+
2 m.g.
. . ^X+l— 111^+ p iYlp
(x+l-p-f
)m^+(p+l)mg
unter denen nun die kleinste zu suchen ist. Mögen nun die Ko-
effizienten der ersten x —1 homogenen Funktionen und die der
homogenen Funktion x^ Grades bis zum Gliede x^x^ den Wert
Null haben, so daß in dem obigen Schema das erste von Null ver-
schiedene Glied (x —p)nii+pm2 ist. Weil jedes Glied des Schemas
für willkürliche m^ und mg kleiner ist als alle nach unten folgen-
den Glieder derselben Vertikalreihe und, unter der Annahme, daß
niiCim ist, zugleich kleiner als alle nach rechts folgenden Glieder
derselben Horizontalreihe, so kommen bei der Aufsuchung der klein-
sten Zahl des Schemas alle Glieder rechts und unterhalb der Zahl
(x — p)m^+pm2 nicht mehr in Betracht, und es bleiben sonach mit
dieser Zahl nur die Zahlen des nachfolgenden Schemas zu ver-
gleichen