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https://doi.org/10.11588/diglit.36497#0009
Uber die IlAMtLTONSchen Differenfialgtcichungen d. Dyn. IV. (Erg.) (A. 7) 9
Yerfahren Dir alle positiven ganzen Lösungen der Gleichung
V(p) —0 durchzu führen sein.
Um aber die Existenz und die Werte aller positiven ganz-
zahligen Lösungen der Gleichung Y (p) = 0 zu ermitteln, bemerke
man, daß, wenn für die in derselben vorkommenden algebraischen
Zahlen die sämtlichen Kombinationen aller Werte derselben, deren
Anzahl v sei, gesetzt werden, die Gleichung
(!.«) l-(p) = V(p).V,(p)-V,(,,).V,_,(p) = <'
nur rationale Koeffizienten besitzt, für welche sich die Zahl nnd
die Werte der positiven ganzzahligen Lösungen in bekannter Weise
durch rationale Operationen ermitteln läßt; jede positive ganz-
zahlige Lösnng von Y(p)=0 wird auch (10) genügen, und man
wird daher, um alle so beschaffenen Lösungen jener Gleichung zu
finden, nur die gefundenen positiven ganzen Lösungen von (10)
auszuwühlcn haben, welche den Faktur V(p) zu Null machen.
Existiert somit unter den reellen Lösungspaaren von (9)
keines, für weh hes peine positive ganze Zahl und q reell ist, so
wird dieser Fall von (B.) zu U.L gehören, während, wenn sieh
auch nur die Existenz eines solchen Lösungspaares ergibt, der
Fallvon(B.)inll.2. einzuordnen ist— und zur Ermittlung der
beiden Fälle, also zur Behandlung dos Falles (B.), worin 0<m<n,
kann die Auflösung der Gleichung (3) durch Ausführung einfacher
rationaler Operationen ersetzt worden.
lstondlieh
(G) m = 0,
sind also die reellen Teile p,,p2, ...p„ sämtlicher Lösmigen Al^Alg,
. ..Ai„ der Gleichung (3) positiv und von Null verschieden, so ge-
hört dieser Fall zu 111., aber ob zu 111.1. oder 111.2 wird davon
abhängen, ob keiner der Werte Al,, Alg,... A!„ oder mindestens einer
derselben eine positive ganze Zahl ist. Wenn man somit wieder,
nachdem die Gleichung (3) rational gemacht ist, ohne Auflösung
derselben vermöge der oben bezeichneten Alethodc fcstgestollt hat,
daß (3) keine positiven ganzzahligen Lösungen besitzt, so wird
dieser Fall 111.1. cinzuordncn sein, und wenn sich Al,, Alg,... Al^
Yerfahren Dir alle positiven ganzen Lösungen der Gleichung
V(p) —0 durchzu führen sein.
Um aber die Existenz und die Werte aller positiven ganz-
zahligen Lösungen der Gleichung Y (p) = 0 zu ermitteln, bemerke
man, daß, wenn für die in derselben vorkommenden algebraischen
Zahlen die sämtlichen Kombinationen aller Werte derselben, deren
Anzahl v sei, gesetzt werden, die Gleichung
(!.«) l-(p) = V(p).V,(p)-V,(,,).V,_,(p) = <'
nur rationale Koeffizienten besitzt, für welche sich die Zahl nnd
die Werte der positiven ganzzahligen Lösungen in bekannter Weise
durch rationale Operationen ermitteln läßt; jede positive ganz-
zahlige Lösnng von Y(p)=0 wird auch (10) genügen, und man
wird daher, um alle so beschaffenen Lösungen jener Gleichung zu
finden, nur die gefundenen positiven ganzen Lösungen von (10)
auszuwühlcn haben, welche den Faktur V(p) zu Null machen.
Existiert somit unter den reellen Lösungspaaren von (9)
keines, für weh hes peine positive ganze Zahl und q reell ist, so
wird dieser Fall von (B.) zu U.L gehören, während, wenn sieh
auch nur die Existenz eines solchen Lösungspaares ergibt, der
Fallvon(B.)inll.2. einzuordnen ist— und zur Ermittlung der
beiden Fälle, also zur Behandlung dos Falles (B.), worin 0<m<n,
kann die Auflösung der Gleichung (3) durch Ausführung einfacher
rationaler Operationen ersetzt worden.
lstondlieh
(G) m = 0,
sind also die reellen Teile p,,p2, ...p„ sämtlicher Lösmigen Al^Alg,
. ..Ai„ der Gleichung (3) positiv und von Null verschieden, so ge-
hört dieser Fall zu 111., aber ob zu 111.1. oder 111.2 wird davon
abhängen, ob keiner der Werte Al,, Alg,... A!„ oder mindestens einer
derselben eine positive ganze Zahl ist. Wenn man somit wieder,
nachdem die Gleichung (3) rational gemacht ist, ohne Auflösung
derselben vermöge der oben bezeichneten Alethodc fcstgestollt hat,
daß (3) keine positiven ganzzahligen Lösungen besitzt, so wird
dieser Fall 111.1. cinzuordncn sein, und wenn sich Al,, Alg,... Al^