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https://doi.org/10.11588/diglit.36509#0011
Man bezeichnet bekanntlich in der Theorie der Randwert-
aufgaben linearer Differentialgleichungen zwei Probleme als zu-
einander oadjungiert«, wenn sie durch die bilineare Beziehung des
GREEN sehen Satzes so verknüpft sind, daß homogene Lösungen
des einen Problems lineare Identitäten zwischen den Differential-
bedingungen des homogenen zweiten Problems nach sich ziehen.
Es sei (um die Betrachtung zunächst auf gewöhnliche Diffe-
rentialgleichungen zu beschränken)
(1) L (a) - - p a"+ ^ u' + n
ein Differentialausdruck, der der Kürze halber von zweiter Ord-
nung gewählt ist. a, sowie die Koeffizienten p, 7/, r, die auch von
einem Parameter abhängen können, seien im Gebiet a —& der re-
ellen Variabein ^ stetige, differentierbare Funktionen, und über-
dies soll p in diesem Gebiete nicht verschwinden. Durch partielle
Integration erhält man die als GREEN scher Satz bezeichnete
Identität:
&
(2) ) } a L (a) — a d/ (0 d ^ p G a'— a F) — (p'— G a ,
wobei der adjungierte Differentialausdruck .!/ (a) zu definieren
ist als:
(F) Jd(a) (pa)"- (?a/ + CK - pF'+ (2p-?) F + (p - ? + ?') .
Unter zwei zueinander adjungierten homogenen Randwertaufgaben
versteht man nun die Bestimmung von zwei Funktionen a, a, die
den Differentialgleichungen
(3) L (a) =0
(3') _vp) = 0
genügen und außerdem jede für sich 2 linearen, homogenen Be-
ziehungen zwischen ihren Randwerten a„, a^, und den Randwerten
aufgaben linearer Differentialgleichungen zwei Probleme als zu-
einander oadjungiert«, wenn sie durch die bilineare Beziehung des
GREEN sehen Satzes so verknüpft sind, daß homogene Lösungen
des einen Problems lineare Identitäten zwischen den Differential-
bedingungen des homogenen zweiten Problems nach sich ziehen.
Es sei (um die Betrachtung zunächst auf gewöhnliche Diffe-
rentialgleichungen zu beschränken)
(1) L (a) - - p a"+ ^ u' + n
ein Differentialausdruck, der der Kürze halber von zweiter Ord-
nung gewählt ist. a, sowie die Koeffizienten p, 7/, r, die auch von
einem Parameter abhängen können, seien im Gebiet a —& der re-
ellen Variabein ^ stetige, differentierbare Funktionen, und über-
dies soll p in diesem Gebiete nicht verschwinden. Durch partielle
Integration erhält man die als GREEN scher Satz bezeichnete
Identität:
&
(2) ) } a L (a) — a d/ (0 d ^ p G a'— a F) — (p'— G a ,
wobei der adjungierte Differentialausdruck .!/ (a) zu definieren
ist als:
(F) Jd(a) (pa)"- (?a/ + CK - pF'+ (2p-?) F + (p - ? + ?') .
Unter zwei zueinander adjungierten homogenen Randwertaufgaben
versteht man nun die Bestimmung von zwei Funktionen a, a, die
den Differentialgleichungen
(3) L (a) =0
(3') _vp) = 0
genügen und außerdem jede für sich 2 linearen, homogenen Be-
ziehungen zwischen ihren Randwerten a„, a^, und den Randwerten