Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

4 (A.l)

FRITZ NoETHER:

ihres ersten Differentialquotienten n),, bzw. z^, z^, z^ von
solcher Art, daß die rechte Seite von (2) durch diese Randbedin-
gungen zum Verschwinden gebracht wird. In allen in der mathe-
matischen Literatur behandelten Fällen besteht das Theorem, daß
die Anzahl der homogenen, unabhängigen Lösungen in zi gleich
der Anzahl der homogenen, unabhängigen Lösungen in u ist.
Wenn eine bzw. zwei homogene Lösungen Mo und entsprechend z^
existieren, ist daher die inhomogene Aufgabe

L(u) - F(V)


mit den nämlichen Randbedingungen gemäß (2) nur dann lösbar,
wenn die Redingung

/ z'oFdir = 0

erfüllt ist. Das Theorem ist bislang nur in solchen Fällen ausge-
sprochen, in denen die Randbedingungen in M und z? die näm-
lichen sind. Das gleiche gilt für die in der Literatur vorliegenden
Beweise bei partiellen DifferentialausdrückenL Doch ist sein Gül-
tigkeitsbereich sicher ein weiterer: Der Ausdruck (l) ist selbst-
adjungiert, wenn di* (z') L (z(), d. h. wenn die Bedingung p'—^ = 0
und entsprechend weitere bei höherer Ordnung erfüllt sind. Für
den gewöhnlichen Differentialausdruck zweiter Ordnung L (V)
kann daher stets ein Multiplikator ?u(;r) so gewählt werden, daß
7u(.r)-.L(n) ein selbstadjungierter Ausdruck wird, dessen adjun-
gierte Funktion zd = z/77?. ist. Das Theorem gilt daher sicher auch
in den Fällen, in denen nach dieser Transformation die Randbe-
dingungen in M und zd die nämlichen sind (sog. GREEN sehe Rand-
bedingungen^).
Aufgaben der Physik^ führen auf die verwandte Fragestel-
1 Z. B. HiLBERT: Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen
Integralgleichungen, 6. Mitteilung, Gott. Nachrichten, 1910 (bzw. gesammelt,
Leipzig 1912, Kap. XVIII, 3. 223 ff.).
^ Vgl. O. HAUPT: Über eine Methode zum Beweise von Oscillations-
theoremen; Math. Ann. Bd. 76 (1914) § 1. Für einen Fall von Differential-
gleichungen vierter Ordnung vgl. F. NoETHER: Zur Theorie der Turbulenz,
Gott. Nachrichten, 1917 (§ 3).
3 F. NoETHER: Eine Randwertaufgabe der Potentialtheorie (erscheint
demnächst). Auch gewisse mit dem RiEMANv sehen Problem zusammenhän-
gende Fragen; vgl. HiLBERT, 1. c. 3. Mitteilung (1905, bzw. Kap. X, 8. 81).