Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Lösungszahl zueinander adjungierter Randwertaufgaben. (A. 1) 11
Wenn 777 eine positive ganze Zahl, bestehen aiso die 27?? homo-
genen Lösungen von (10):
Mo = Vo i = (2777,- 72)^ + 72^,(72 = 1,2, ...722- 1)
= <P,„ i MR = (2 772 - 72) - 77 7^.(?7 = 1, 2, . .. 777 -1) .
Da aber die (ü^) das vollständige System der Funktionen
72 sin A u (A = 7? — 772 = 1,2,...), 7i cos Au (A = 77 — 777, = 0,1,...) durch-
laufen, gibt es keine zu allen orthogonale Funktion p(^), also
keine adj ungiertc Lösung. Die inhomogene Aufgabe (IO)
ist also für jede beliebige Funktion / lösbarL
Ist aber 771 eine negative ganze Zahl, — ü, dann ist
g' (<A„) - - M sm (72 + 2) (2 (71 = 0,1,...)
^M-MCOs(7?+l)l2 (77=1,2,...).
Dann bestehen zwischen den ^((p,,),^^) keine linearen, homoge-
nen Beziehungen; es existiert also nur die eine homogene
Lösung von (10): "o = <Po=^-- Dagegen existieren die (2^ + 1)
zu allen g(y,J, g(y„) orthogonalen Funktionen:
/p — cos ?' u (2 = 0,1, ... /)
p^, = sin A u (A = 1,2, .. A) .
Es besteht die gleiche Zahl, (2/+1), von Lösungen der ad-
jungierten, homogenen Aufgabe, und die inhomogene
Aufgabe (10) ist gemäß (11) nur lösbar, wenn die 2f + l Bezie-
hungen
/ pj = 0 ; / p,, / = 0
s s
erfüllt sind.
In allen Fällen verhält sich die Aufgabe wie ein System line-
arer Gleichungen mit (außer im Fall 777 = 0) verschiedener Anzahl
der Reihen und Kolonnen. Die Mitteilung dieser Beispiele war
der Zweck vorliegender Note. Sie sind ein spezieller Fall einer

s Vgl. den Existenzbeweis bei F. NoETHER, 1. c. (3).