Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Katoptrische Abbildung, insbesondere Bildebnung. (A. 15) 11

§ 3. Die katoptrischen Abbildungsformeln.
i. Die rechtwinkligen Koordinaten %, y des Punkts 6* der
spiegelnden Kurve seien durch »natürliche« oder »innere« Para-
meter in bekannter Weise ausgedrückt:
(8) j'pcosrdr, y = j'psin'rd'r,
0 0
wobei der Krümmungsradius p als Funktion des Neigungswinkels r
der Tangente gegeben sein soll.
Pi und Tg seien zwei Punkte, so gewählt, daß 6*Pi und ^Pg
mit der Normale in P beide den Winkel ^ einschließen. Ihre Ko-
ordinaten sind dann

(9) x.- + ^ + „s,np,,
t ^ = ^- + rg cos ^g, ?/g = ?/ + ?-g sm ipg,
und es ist (vgl. die Fig. S. 12)

(10)

90

+ r + ^'

P2

+ r ,

so

daß (9) übergeht in:

^ = ^-riSin(r + ^), yi = y + 7-iCOs(r + ip),
^2 = ^ — 7*2 sin (r —1^), ^2 = y + ?g cos (r —^1).

Es seien nun 7^ und Tg gegebene Funktionen von r, ferner
D und Tg die Neigungswinkel der Tangenten der beiden Kurven,
die Pi und Pg beschreiben. Dann folgt aus (9) - ohne Rücksicht
auf (10) —:

(11)

dr

0 -

d ^ d ?/i
- — cos *r^ -i—-— sin r.
dr dr
p cos (r^ — r) + 7\ cos (<p^ — r^) — 7^ sin (<p^ — 7^) ,
d^r^ . dy^
- ---- sm Ti--— cos r.
dr dr
p sin - r) - 7 { sin (<pi - - 7^ (p^ cos ,

nebst zwei entsprechenden Formeln mit den Fußmarken 2.