Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Einleitung.

RiEMANN^ hat den Existenzbeweis für die algebraischen Funk-
tionen und ÄBELsehen Integrale auf einer geschlossenen RiEMANN-
schen Fläche zurückgeführt auf die Auflösung des entsprechenden
Randwertproblems für die ,,Pofc77ü%^/M7!Aho77e72.'', d.h. für die Lö-

sungen von A (u)

3'^ u 3" u
—=0. Für ganze lineare
Randbedingungen, welche den RiEMANN sehen Fall als speziellen
umfassen, haben die Herren PRYM und RosP die Existenz- und
Eindeutigkeitssätze für die Lösungen von A(u)=0 behandelt;
mit deren Hilfe haben sie sodann das entsprechende Randwert-
problem für die Funktionen einer komplexen Veränderlichen, d. i.
für die Funktionen erledigt. Diese PRYM^eAe/i Fniid-
5ecR7igM72ge7i sind durch die fundamentale Eigenschaft c/umH/Heri-
.sferi, daß bei ihnen das FAAie77z- M7?d FRideHüg/ceiRR/eoi'eiii 2/77H&-
/züiigig CU77 &7' ^pezieReii de/' ZMgrH77.de geFgie7?J RiEMANN-
^eden FhicAe bei fest vorgegebenem Geschlechte p sich formulieren

läßP.

In den folgenden Zeilen soll nun die Integration von A(u) = Ü
auf einer geschlossenen RiEMANN sehen Fläche H für die aFgeTuemeH
ganzen linearen Randbedingungen geleistet werden. Die in Rede
stehenden Lösungen sollen reFRc ZM A H77ce7'zweig^ sein. Mit Hilfe
der so gewonnenen Existenzsätze lassen sich, was indes nur an-
gedeutet wird, sodann die entsprechenden Sätze für die analy-
tischen Funktionen gewinnen.
Der Existenzbeweis stützt sich auf die von Herrn HiLBERT
herrührende ,,Pu7Y!772ei7HY77!gR7ade''3. Während RiEMANN auf das
DiRicriLETsehe Prinzip sich beruft, benutzen PRYM und RosT^ ein

1 RiEMANN, Theorie der AßELschen Funktionen (Ges. Werke, 2. Auft,
Leipzig 1892).
2 PRYM und Rosr, Theorie der PRYMschen Funktionen erster Ordnung
(Leipzig 1911, I. Teil, bes. V. Abschnitt, S. 150).
^ HiLBERT, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integral-
gleichungen ( VI. Mitteilung, Göttinger Nachrichten, math.-phys. Klasse, 1910,
S. 362-388).
4 PRYM und RosT, 1. c. 2, I. Teil, V. Abschnitt.