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https://doi.org/10.11588/diglit.36524#0011
Randwertaufgabe für A(u) = 0.
(A.16) 11
p(x,v;Ax) = log-+F(x,y;E,y]).
Dabei ist
r -^(x-S)* + (y-#.
Ferner bedeutet F(x,y;^,-/]) eine Funktion von Argument- und
Parameterpunkt, die in der Umgebung von x = ^, y = -/] stetig und
beliebig oft stetig differentiierbar ist. Für x = ^, y = vj bleibt F zwar
stetig, hingegen können die zweiten Ableitungen daselbst von
erster Ordnung unendlich werden. Das eben angegebene Verhalten
von p(x,v;^,7]) ist invariant gegenüber einem Wechsel der Orts-
uniformisierenden.
3. Die Parametrix ist bei stehendem Parameterpunkt eine
zur primären Charakteristik gehörige multiplikative Funktion des
Argumentpunktes.
4. Bei stehendem Argumentpunkte dagegen gehört die Para-
metrix, als Funktion des Parameterpunktes betrachtet, multipli-
kativ zur reziproken Charakteristik.
Der Beweis für die Existenz der so definierten Parametrix
wird in § 6 nachgetragen werden.
§ 3. Aufstellung und Diskussion der Integralgleichungen
des ProblemsW
Das in § 1 formulierte Problem bildet einen Sonderfall der
Aufgabe, die zur vorgegebenen Charakteristik gehörigen, von Un-
stetigkeiten freien Lösungen u der Differentialgleichung A(u+h) = 0
zu bestimmen, u soll dabei insbesondere auf der universellen
I berlagerungsfläche von 35 eindeutig und beliebig oft stetig
differentiierbar sein; und h bedeutet eine gegebene, zur Charak-
teristik gehörige und auf 5t eindeutige, bis auf gewisse Unstetig-
keitsstellen überall beliebig oft stetig differentiierbare Funktion.
Die Integralgleichungen dieses letztgenannten Problems wer-
den mittels der Parametrix gewonnen. Um einen Ausgangspunkt zu
14 Xu diesem Paragraphen vergleiche man HiLBERT, 1. c. h 8. 371—377.
Die im Text gegebene Modifikation der Methode von HiLBERT 1. c. ist da-
durch bedingt, daß die Randbedingungen des hier in Rede stehenden Pro-
blems im allgemeinen nicht symmetrisch sind, wie das bei der von HiLBERT
behandelten Aufgabe der Fall ist.
(A.16) 11
p(x,v;Ax) = log-+F(x,y;E,y]).
Dabei ist
r -^(x-S)* + (y-#.
Ferner bedeutet F(x,y;^,-/]) eine Funktion von Argument- und
Parameterpunkt, die in der Umgebung von x = ^, y = -/] stetig und
beliebig oft stetig differentiierbar ist. Für x = ^, y = vj bleibt F zwar
stetig, hingegen können die zweiten Ableitungen daselbst von
erster Ordnung unendlich werden. Das eben angegebene Verhalten
von p(x,v;^,7]) ist invariant gegenüber einem Wechsel der Orts-
uniformisierenden.
3. Die Parametrix ist bei stehendem Parameterpunkt eine
zur primären Charakteristik gehörige multiplikative Funktion des
Argumentpunktes.
4. Bei stehendem Argumentpunkte dagegen gehört die Para-
metrix, als Funktion des Parameterpunktes betrachtet, multipli-
kativ zur reziproken Charakteristik.
Der Beweis für die Existenz der so definierten Parametrix
wird in § 6 nachgetragen werden.
§ 3. Aufstellung und Diskussion der Integralgleichungen
des ProblemsW
Das in § 1 formulierte Problem bildet einen Sonderfall der
Aufgabe, die zur vorgegebenen Charakteristik gehörigen, von Un-
stetigkeiten freien Lösungen u der Differentialgleichung A(u+h) = 0
zu bestimmen, u soll dabei insbesondere auf der universellen
I berlagerungsfläche von 35 eindeutig und beliebig oft stetig
differentiierbar sein; und h bedeutet eine gegebene, zur Charak-
teristik gehörige und auf 5t eindeutige, bis auf gewisse Unstetig-
keitsstellen überall beliebig oft stetig differentiierbare Funktion.
Die Integralgleichungen dieses letztgenannten Problems wer-
den mittels der Parametrix gewonnen. Um einen Ausgangspunkt zu
14 Xu diesem Paragraphen vergleiche man HiLBERT, 1. c. h 8. 371—377.
Die im Text gegebene Modifikation der Methode von HiLBERT 1. c. ist da-
durch bedingt, daß die Randbedingungen des hier in Rede stehenden Pro-
blems im allgemeinen nicht symmetrisch sind, wie das bei der von HiLBERT
behandelten Aufgabe der Fall ist.