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https://doi.org/10.11588/diglit.36524#0027
Randwertaufgabe für A(ui=0.
(A.16) 27
der Charakteristik, (Q eine halbanalytische. Bildet man für jeden
Punkt von W den konjugiert-komplexen Wert von eoj, so liefert
nt, eine analytische Eigenfunktion der konjugiert-komplexen Cha-
rakteristik. Der Quotient op/cj]. liefert daher eine analytische
Eigenfunktion derjenigen Charakteristik, deren Eaktoren die Form
Ä„/A„, B,,/B„ haben; diese Faktoren sind also alle vom absoluten
Betrag 1, besitzen aber nicht alle den Wert 1. Für eine derartige
PRYMSche Charakteristik existiert aber niemals eine Eigenfunktion
(Eindeutigkeitssatz von PRYM^).
Die (g-0 + g.o) untereinander l.u. Eigenfunktionen
bilden nun eine Linearbasis aller derjenigen Eigen-
funktionen CI, für welche jeweils die konjugierte normierte Poten-
tialfunktion Q wiederum eine Eigenfunktion ist. Für jede derartige
Eigenfunktion Q wird nämlich sowohl (Cl+iCl) als auch (CI —iQ)
eine Eigenfunktion, und es gilt daher die Darstellung:
/<o
Do
d + i<A
- Z
Q — itt = ^ cj
?^ = 1
;.=i
und mithin
ü
" 2 Z
-u i v r.D,k
K = 1
A=1
Weiter folgt
Po = k -
ko " ko
und damit hat man die gewünschte Basis.
Die bisherigen Ergebnisse lassen sich so zusammenfassen:
A%tz.* Zur FidcAe 'A Azw. W ^ei ed?,e 77icAAm.yo'ezeicA77e?e FAu-
77/A^eri.ydA g'eg'eAem de77 y Fi^e77-/777iAdo77e77 der 7'ezip7'oAe77
FAuruA^erddA ^eAe e^ e7A^e7i.y H7mAAö7^dge ozmiyfdcAe
M7^d zwede^.s g.Q AAeur H77.uAAd77^7g'e AuiAu7miyRdcAe
FiF reede FAu7'uAF7d^dAe77 duAei go = gQ = 0 ode?'
ko = ko = d /d7' U7zdere FAuruAF7'ddAe77. oder ko + ko ^ 1. Die AAr7g'e77
Po = g. —g,Q —g.(j d?zeu7' u7MAAü77^ige77 Fige77./u77Aün77e77. de7' reziproAe7i
FAuruAFridRA ^eieii md AezeicA7ie? M77,d die 7707777ie7ke77
De7i'ode77^^e777e de7^ zu de77, CI, (' = ü-.. ,o.) Ao7z/Hg'ie7ke77. Ded7zRui/7777A-
Ü077e77 Q, 7777t ß,„ (^ = l,-..,P;t = l,.-.,^.;Ap = 0)- (F.S 7^ pQ<^p —1.)
3^ PRYM und RosT, 1. c. k I. Teil, S. 151.
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der Charakteristik, (Q eine halbanalytische. Bildet man für jeden
Punkt von W den konjugiert-komplexen Wert von eoj, so liefert
nt, eine analytische Eigenfunktion der konjugiert-komplexen Cha-
rakteristik. Der Quotient op/cj]. liefert daher eine analytische
Eigenfunktion derjenigen Charakteristik, deren Eaktoren die Form
Ä„/A„, B,,/B„ haben; diese Faktoren sind also alle vom absoluten
Betrag 1, besitzen aber nicht alle den Wert 1. Für eine derartige
PRYMSche Charakteristik existiert aber niemals eine Eigenfunktion
(Eindeutigkeitssatz von PRYM^).
Die (g-0 + g.o) untereinander l.u. Eigenfunktionen
bilden nun eine Linearbasis aller derjenigen Eigen-
funktionen CI, für welche jeweils die konjugierte normierte Poten-
tialfunktion Q wiederum eine Eigenfunktion ist. Für jede derartige
Eigenfunktion Q wird nämlich sowohl (Cl+iCl) als auch (CI —iQ)
eine Eigenfunktion, und es gilt daher die Darstellung:
/<o
Do
d + i<A
- Z
Q — itt = ^ cj
?^ = 1
;.=i
und mithin
ü
" 2 Z
-u i v r.D,k
K = 1
A=1
Weiter folgt
Po = k -
ko " ko
und damit hat man die gewünschte Basis.
Die bisherigen Ergebnisse lassen sich so zusammenfassen:
A%tz.* Zur FidcAe 'A Azw. W ^ei ed?,e 77icAAm.yo'ezeicA77e?e FAu-
77/A^eri.ydA g'eg'eAem de77 y Fi^e77-/777iAdo77e77 der 7'ezip7'oAe77
FAuruA^erddA ^eAe e^ e7A^e7i.y H7mAAö7^dge ozmiyfdcAe
M7^d zwede^.s g.Q AAeur H77.uAAd77^7g'e AuiAu7miyRdcAe
FiF reede FAu7'uAF7d^dAe77 duAei go = gQ = 0 ode?'
ko = ko = d /d7' U7zdere FAuruAF7'ddAe77. oder ko + ko ^ 1. Die AAr7g'e77
Po = g. —g,Q —g.(j d?zeu7' u7MAAü77^ige77 Fige77./u77Aün77e77. de7' reziproAe7i
FAuruAFridRA ^eieii md AezeicA7ie? M77,d die 7707777ie7ke77
De7i'ode77^^e777e de7^ zu de77, CI, (' = ü-.. ,o.) Ao7z/Hg'ie7ke77. Ded7zRui/7777A-
Ü077e77 Q, 7777t ß,„ (^ = l,-..,P;t = l,.-.,^.;Ap = 0)- (F.S 7^ pQ<^p —1.)
3^ PRYM und RosT, 1. c. k I. Teil, S. 151.