Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Randwertaufgabe für A(u) = 0.

(A.16) 31

Es sei nun w bzw. ^ eine zur primären bzw. reziproken Cha-
rakteristik gehörige a. e. mit den Perioden
bzw. a,,, ß^, ferner seien w bzw. C die konjugierten Potentialfunk-
tionen und d(„, bzw. ß„ ihre Perioden. Dann ergibt der
GREEN sehe Satz
@(S[,?.)=^Ö,W)=h' ^ = ds = -f($,9t),
und folglich
@(91,&) + @(91,^) = 0.
Sind jetzt insbesondere w sowohl als ^ Funktionen,
so hat man dp = — i91„, — ix„, usw., also
@(91,x) = ü(y.,91) =0.
Dies ist die Form der in Aussicht genommenen Bedingungen für
die Perioden der a. e. analytischen Funktionen. Läßt man für die
betrachteten analytischen Funktionen auch polare und logarith-
mische Unstetigkeiten zu, so nehmen die Bedingungen die Form
H(Lg,Lg,,) = G(91, tx) an, wo die von den % und <x unabhängige linke
Seite aus den Bedingungen (j'') des Existenzsatzes (§ 4) leicht zu
berechnen ist. Für )A,„] = ]BJ =1 (i' = i,...,p) und den allgemeinen
Fall, daß auch Unstetigkeiten vorhanden, sind die Bedingungen
von den Herren PRYM und BosT (vermittels komplexer Integra-
tion) abgeleitet und unter der Bezeichnung
zusammengefaßt worden^.
Aus dem in §4 über die Bilinearform @(9t,x) Bewiesenen
läßt sich nun folgender Schluß ziehen: Für die Perioden 91„,
(^ = i,...,p;S3p = o) einer a.e., zur primären Charakteristik gehörigen
analytischen Funktion ergeben sich A unabhängige, in den
lineare homogene Bedingungen
@(91,X,) = 0, A -
^ PRYM und RosT, f. c. C I. Ted, 8. 190. Man vergleiche wegen solcher
bilinearen Relationen auch HiRscH, Über bilineare Relationen usw. (Math.
Ann. Bd. 54, 1901, 8. 202-322).