Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Integralfunktionen partieller Differentialgleichungen. (A. 8) 5

Integral derselben genannt werden, wenn 7/ keiner andern gleicharti-
gen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung in den Variabein
2^ - - - ^ für beliebige Werte der Konstanten Og,... genügt,
außer einer algebraisch aus dieser abgeleiteten und mit deren Diffe-
rentialausdruckidentischverschwindenden zugehörigen Differential-
gleichung,und es sollen zumZwecke der nachfolgendenUntersuchun-
gen die 77o^we77digg77 7777ddb7re7cAe77de7?.d?gdf7?c'n77^e77 dafür zusammen-
gestellt werden, daß (1) ein vollständiges Integral von (7) ist. Möge
I. die Differentialgleichung (7) die abhängige Variable 7/ ex-
plizite enthalten, so ist eine notwendige Bedingung offenbar die,
daß D + 0 ist, da, wenn D = 0 wäre, nach dem obigen Hilfssatz ?/
einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung genügen
würde, in welcher p nicht explizite vorkommt, und somit der Dif-
ferentialgleichung (7), in welcher der Voraussetzung nach p ent-
halten sein sollte und dieser vom expliziten p freien Differential-
gleichung genügen müßte, was der Definition des vollständigen
Integrals widersprechen würde. Die Bedingung D =j= 0 wird aber
auch die hinreichende sein; denn wenn (l) dann nicht das voll-
ständige Integral von (7) wäre, so müßte es für willkürliche Werte
der Konstanten u noch einer andern nicht zugehörigen partiellen
Differentialgleichung erster Ordnung
(8) 3^, ...3^, y, pp, P2,-..p„) = 0
genügen, die p explizite enthalten kann oder nicht; in jedem
Falle würde sich für dasselbe Integral aus (7) und (8) eine par-
tielle Differentialgleichung erster Ordnung durch Elimination von
p hersteilen lassen, in welcher p nicht mehr explizite vorkommt,
oder identisch ist, in welchem Falle nach dem obigen Hilfssatz
gegen die Voraussetzung D identisch Null sein müßte. Dfe TuPsveT?.-
d?'ge M7zd Amreic/M'TMfg d^edm^MTr^ d%/dr, d%/? d%3 d7T^7Y;7 (t) der
die FmihMe p eapFrshe e7F/md<?77de77 Di//e7'e77^n^^7cAM77g' (7) gm
coF^d77dfg'e^ 7^ .ycwF dadm'cd du/? dfe DeterTTÜ-
77%7^e D co77 TVnF ee7^c/n'ede77
Nicht so einfach ergeben sich die notwendigen und hinreichen-
den Bedingungen für das vollständige Integral im Falle
II. , wenn die partielle Differentialgleichung
(9) /(2Ü, 3?2, ...^, pi, P2, -..p„) = 0
die abhängige Variable 7/ nicht explizite enthält.