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https://doi.org/10.11588/diglit.36516#0021
Integralfunktionen partieller Differentialgleichungen. (A. 8) 21
Setzt man
!/i = 1^1 (u, -
..K,,K)
!l
KV
.. 3^, (7^ , 17 2,
vv
n
.. 31^, , (^2)
!l
KV
.. 3?,,, Uj , 6^2 ,
so ergibt sich ein Integral mit % willkürlichen Konstanten in der
Form
^2 (3h, - -- Kn K, <*2) + - "
1,' - - Kt, K, ^2, * * * *
(30)
t?i (3
1) +
Kommt nun m der Differentialgleichung (23) 1/ explizite vor, so
ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß (30)
ein vollständiges Integral derselben ist,
D
32 &
3'd
^ %i 3 ^ 3 3 ^ 1 ^
32 d
2 3^3^
32#,
3 Uo 3 3^2
32 ^
d d Z,
3 ^ 3 3^2
32 ^
d^
7)2
2 3 <?2 3 3^,,
32^
3 3 3u
K 0,
während, wenn die Differentialgleichung (23) die abhängige Varia-
ble nicht explizite enthält, sich in jeder Vertikalreihe der nun-
mehr identisch verschwindenden Determinante D ein Element be-
finden muß, dessen zugehörige Unterdeterminante erster Ordnung
von Null verschieden ist, und daß, wenn dieses für ein beliebig
gewähltes 0
" 3^
^ 3^ 3%^
ist, die Determinante
Setzt man
!/i = 1^1 (u, -
..K,,K)
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KV
.. 3^, (7^ , 17 2,
vv
n
.. 31^, , (^2)
!l
KV
.. 3?,,, Uj , 6^2 ,
so ergibt sich ein Integral mit % willkürlichen Konstanten in der
Form
^2 (3h, - -- Kn K, <*2) + - "
1,' - - Kt, K, ^2, * * * *
(30)
t?i (3
1) +
Kommt nun m der Differentialgleichung (23) 1/ explizite vor, so
ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß (30)
ein vollständiges Integral derselben ist,
D
32 &
3'd
^ %i 3 ^ 3 3 ^ 1 ^
32 d
2 3^3^
32#,
3 Uo 3 3^2
32 ^
d d Z,
3 ^ 3 3^2
32 ^
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7)2
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32^
3 3 3u
K 0,
während, wenn die Differentialgleichung (23) die abhängige Varia-
ble nicht explizite enthält, sich in jeder Vertikalreihe der nun-
mehr identisch verschwindenden Determinante D ein Element be-
finden muß, dessen zugehörige Unterdeterminante erster Ordnung
von Null verschieden ist, und daß, wenn dieses für ein beliebig
gewähltes 0
" 3^
^ 3^ 3%^
ist, die Determinante