Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

26 (A. 8)

LEO KoENtGSBERGER:

(36) R(x,y,/,F) + R,(x,y,/,F)/ = 0
und wegen der Irreduktibilität von (34) von allen Losungen
Fi,F2,...F,, der letzteren befriedigt wird. Da aber

9F 9F
^ ((/, /, = V-"
9z 9 y

ist, so geht (36) in

9F 9F„
—' + —- / - 0
3 nr- 9 ^

cz

(u = 1,2, ...r)
(z/= i,2,...r)

über, woraus folgt, daß die Potenzsummen der Lösungen der
Gleichung (34), also auch deren Koeffizienten, in z, y,/ rationale
Integralfunktionen der Gleichung (32) sind. Fe^zfF (32) ezzze
in % und 2/ Gdye&ruFc/ze dzzF^m//zzzzAüoz? F, ^0 ezz'Fzer? uzzeA
eine in 3?,?/,/ rnü'onnie dzzF^rn7/zzz?Fzo7Z Fi.
Da aber jede Integralfunktion einer willkürlichen Konstanten
gleichgesetzt für y das allgemeine Integral der Differentialglei-
chung (32) liefert und somit wegen der der Quadratur anhaften-
den willkürlichen Konstanten durch y— j /(z)dz dargestellt werden
kann, so folgt
y -//dz - Fi (37, y,/) ,
worin Fi eine rationale Funktion bedeutet, und es wird somit, da
3* und y voneinander unabhängig sind,
/ /dz = F (z, /)
sein, also / /dz ^zcA zzzüozzu/ dzzrcA z zzzrd / zzM^d/'dc^ez? iuMcn.
Der von ÄBEL bewiesene Satz, daß, wenn /(z) und ^ /(z)dz
algebraische Funktionen von z sind, die Quadratur auch als ratio-
nale Funktion von z und /(z) dargestellt werden kann, würde
also in den obigen Bezeichnungen lauten:
IFezzz? z'zz der Fz'//erenü'u^FzcAzz7Z^ (32) /(z) ezzze zzQe/z/YZz.S'c/ze
Fun/düm eoz? z Kh zzzzd ezzze izz^eg'z'uf/zzzzAü'ozz der^eFezz eozz z zzzzd y
u^e^zruFe/z zz^zAdzzyb w tverdezz dze /zz^c^mF der Fz//erezzfzzzdyFzcAzzzz^
rzüzozzod dzzrcA z zzzzd /(z) zzzz^deMcAFar ^ezzz.