Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

32 (A. 8)

LEO KoENIGSBERGER:

Wird nämlich vorausgesetzt, daß zwischen den ^ Transzen-
denten di, dg,—keine lineare Beziehung mit algebraischen Ko-
effizienten besteht — indem sonst mit Hilfe dieser die Anzahl der
in F enthaltenen Transzendenten unter Beibehaltung derselben
Form der Integral!'Linktion verkleinert werden könnte —, so schlie-
ßen wir daraus als notwendige Bedingung für die Form (48) der
Integralfunktion, daß die Koeffizienten von di,dg,...d; identisch
verschwinden, also nach (40) Mi,Mg,...M; cdgeFvcGcAe 7/ücgrnb
/MnAGoMen der /mehren Dz//ere7?üMigFicAMmg $ein ^iK^en, und die
Gleichung (49) in

(50)


O

C M
2a?i

- O

2 M

2y

2 di


2 ^
2^
2 ^

+

M,

2d,

2d.


'd;

2 y

übergeht. Zugleich folgt, daß in der Tat in den Differentialquo-
tienten lineare Differentialgleichungen erster Ordnung existieren,
für welche es Integralfunktionen von der Form (48) gibt, weil
die Koeffizienten von Gi,...G,^,G in der Gleichung (50) algebra-
ische Funktionen der Variabein sind, die so als Funktionen dieser
Variabein bestimmt werden können, daß die Gleichung (50), also
auch (49) für beliebig gewählte algebraische Integralfunktionen
Mi, Mg,... M; identisch erfüllt wird; besitzt die Differentialgleichung
keine algebraischen Integralfunktionen, so gehen die Funktionen
Mi, Mg,... M; in Konstanten %i, Mg,... eq über.
Aus einem Satze von ABEL, dnA, cceMM zwGcAen / /MtegrcdeM

di = / yid^, dg = / ?/gd^, ... d;, = / y;,d^ ,

iM deM<?M ?/i, ^2,...?/;, Mige&mGcAe FMMAFoMeM ccm a:, und Wi,Wg,...zc^
c^eccwAAeFMM/c^'oMe^c ccm ^i,ccg,...^,?/ ^md, eine Mige^mGcAe A?e-
zicAMMg oA??e duA acAcm zwGcAecc weniger nF ^ dieser Fm/7-
^zc/^deMFM ecM c^eM^oAAer MigeF'nGcAer ZM^MM^cmMAMMg
die^e FczieAMMg die h'ncMre d'mv/c AnL*