Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Integralfunktionen partieller Differentialgleichungen. (A. 8) 37

(56) = ^(Jg,^,...^), oder Fl

(ü ? ' A )
^ (ü ? ; - - - Ü.)

worin der Zähler ü nicht mehr enthält, und der Nenner in bezug
auf Ji vom ^ Grade ist. Da aber der reziproke Wert einer Inte-
gralfunktion wieder eine Integralfunktion ist, so ergibt sich die
Existenz einer Integralfunktion von der Form


welche in ^ rational ganz, in Jg,...im allgemeinen rational ge-
brochen ist, oder die identische Gleichung

Di
+ Dg

i 3F
3^

/r Fo d/

„-1 3-A
33V

Ti"

3R.
3^i
3F.
3^

+(^-i)FiJr^+yr'
^ ^ 3^i
3^2

3 Fi
3^1
3 Fi
3^


D

F dj

,-l ^^0
3 7/ ^ ^ 3 //


/<-2


3y

3 //

0,

aus welcher, da eine algebraische Beziehung zwischen 7i,Jg,...y^
ausgeschlossen war, folgt, daß die Koeffizienten der ganzen Ver-
bindungen von Ji,^,.../^ identisch verschwinden müssen, also
auch der Koeffizient von Z/':

ß,

3R.
3 37i

3F,

Dg -r h
3 3Tn

3R, 3^
3^ 3?/

ist, und somit Fg eine in den Transzendenten Jg,...J^ rationale
Integralfunktion sein wird.
Auf Grund der nachfolgenden Überlegungen wird sich aber
der Grad der in ^ ganzen Integralfunktion Fg in bezug auf ü er-
niedrigen lassen. Sei nämlich zunächst