Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Integralfunktionen partieller Differentialgleichungen. (A. 8) 43

A Pa + --- + t?x-i < + /ta -t ^-K-i
ist.
Wendet man die oben vollzogene Operation mittels des Sym-
bols A wiederholt an, so gelangt man, da die partiellen Differen-
tialquotienten der algebraischen Funktionen Di,^2,...D^,i9
wieder rational durch eben diese Größen und die Variabein 3q,...
3^, y ausdrückbar sind, sukzessive zu Gleichungen, welche in F^
von immer niedrigerem Grade werden, und zwar entweder zu
einer Gleichung, welche in bezug auf F^ vom ersten Grade ist:

^ = I p,,... y, ... ß., ß) O - - - FV -

('?)

worin die 31, wie sich aus der nochmaligen Anwendung des Sym-
bols A, wegen AF^ = 0 und der Voraussetzung der algebraischen
Unabhängigkeit der Integralfunktionen F2,Fg,...F^_i voneinan-
der ergibt, der Bedingung unterliegen A9t = 0, und somit rational
aus den oben bezeichneten Größen zusammengesetzte Integral-
funktionen sind, oder schon vorher zu einer Gleichung der Form

I
('?) P?)
worin p,g,... positive ganze Zahlen <m, und
A F,? = 0, A = 0, ... A W = 0
also die in rationalen Funktionen
... <5Z wiederum algebraische Integralfunktionen sind, während
eine erneute Anwendung des Symbols A auf die linke Seite der
letzteren Gleichung dieselbe identisch zu Null machen würde,
immer unter der Voraussetzung, daß nicht schon zwischen 3q,...
3^, y, Fi, ...F^_i eine algebraische Beziehung besteht. Wir finden
somit,
da/?, wenn K<ja + 1 frangzenden^e oder aige&raFscAe An^egra/-
/nnADonea der linearen parheiien Di//erenfiaigieicAang (39) in ei/?er
eon den FariaAein 39i,...3:^,y aAAängigen aigeAraGcAen FezieAnng
zaeiaaader ^^eAen, and nicAf ^cAon eine ^oicAe zwGcAen weniger aF

^ p ...F'^**WF^

U F"
1

F

'7^-1
K-l'

y A F"

... F^"^

0,

(ü