Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Integration partieller Differentialgleichungen durch Reihen. (A. 9)

giA, cccTm /e;wer die A^^pMTZgeT?. <p'(^),/^(^),/J(^) ea?L$ü'ere7TÜ
> 0 3^Vd, .so dar/ die AfeiAe /ar (a?) giiedwei3e di//ereazierf we/-dea.
Die DeiAe 3ei^3h 3owie die ReiAe der A&ieifzz77gea 3iad ia dew o^gezz
V^^ercaii gieicAwäAig AoTzeergeah
Aus den Voraussetzungen folgt, daß die Funktionen /,,(%)
monoton wachsen (oder wenigstens die reellen Teile, die imaginä-
ren Teile sind konstant und spielen keine Rolle). Dasselbe gilt
daher von der Funktion
M = x^z.M -
Aus der Gleichung
= X z^M+^M
<-=i
folgt nach unsern Voraussetzungen auch die Differenzierbarkeit
von y?„(%), und wegen des monotonen Wachstums ist d?j,(a:)^0.
Daher
<?' M = X z!, (^) + (^) ^ X z^ (^) -
Hieraus ergibt sich die Konvergenz der Reihe

X z!,M = i
iz = l
weil ihre Glieder >0, und ihre Partialsummen G^'(^) sind. Da
nach Voraussetzung /J(z)>0, so ist /(,(a;) stetig und monoton
wachsend; also
X Z!^') < ^ /^(^) füra<R<&.

Daraus folgt aber, daß die Reihe ]F/^(a;) im Intervall
iz = l
gieicAwäAig konvergiert, so daß ihre Summe ?p(%) stetig ist. Alan
darf also gliedweise integrieren und erhält:
* Die Ableitungen sind für x = a natürlich nur vordere, für a? = & nur
hintere. Analoges gilt später jedesmal an den Grenzen eines Intervalles.