Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Integration partieller Differentialgleichungen durch Reihen. (A. 9) 13

nur Terme, die in der rechten Seite von (23.) enthalten sindh
Diese Terme sind alle >0 und bilden eine gleichmäßig konver-
gente (eventuell endhche) Reihe. Ihre Summe ist daher stetig,
> 0 und nicht größer als die rechte Seite von (23.), also erst recht
nicht größer als die linke Seite von (23.). Nach (11a.) existiert
daher auch die Funktion und es ist

(24.) 0 <
. , 3 /3"Z
(25.)

3" 3^
3"
3
/3^,,+U
3 V
3 V
\ 3y /
3 y
\ 3^;

9y \ 3 V

9" 12, 3" /9(P,

> V
A 3T

A=1 c

Tr"

3 y

w+l 3

= X

i "y

3^"

wobei die Vertauschung der Differentiationsreihenfolge wieder
wegen der Stetigkeit erlaubt ist (vgl. die Fußnote Seite ll).
Hieraus folgt durch Integration nach y von 0 bis y:

3"0 ^
Q ^ M+l

2^"
?M+1 ^

3af ^ 3^r ^

Damit ist die Allgemeingültigkeit der Ungleichungen (21.),
(22.) bewiesen. Aus (21.), (22.) und (24.), (25.) folgt sogleich die
Konvergenz der Reihen

(26.)
(27.)

A 3 a"

V

2^12;.
2


= z

3"

CT'


Nun sind die Funktionen

(n-0,1,2,...) ,
("-0,1,2,...).

3"dh 3" 12;

C' 3.'

(n = 0,l,2,...)

^ Das gilt zunächst unmittelbar nur für ?7 = 0. Für ?7>0 ist dann, falls
einmal unendlich viele Terme in aufgenommen sind, noch der Hilfssatz
des § 2 heranzuziehen.