Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Integration partieller Differentialgleichungen durch Reihen. (A. 9) 21

Für numerische Rechnung ist es notwendig, den Rest der
Reihe ^ abzuschätzen. Nun bemerke man, daß nach Satz 2
die zum Vergleich herangezogene Differentialgleichung (36.) selbst
ein für ^/ = 0 verschwindendes Integral Z^ hat, welches sich nach
der Methode des § 3 in eine Reihe

(41.) 2, = E
A=1
entwickeln läßt, und zwar ist nach den Untersuchungen des § 5
(vgl. Formel (31.)):
<2R A }<?u! (2 = 1,2,3,...) ;
also
(42.)
Anderseits hat die Differentialgleichung (36.) auch das in (38.)
angegebene Integral Z, welches sich im Bereich
nach Potenzen von % und ?/ entwickeln läßt und ebenfalls für ?/ = 0
verschwindet.
Nun erkennt man leicht aus der rekursorischen Bestimmung
der Funktionen <P^, und weil nach Formel (22.)

v
Z=1

(P; V Z ,

3.2; 3 ir

ist, daß die <P; sich mindestens im gleichen Bereich ebenfalls nach
Potenzen von ^ und i/ entwickeln lassen, und zwar mit positiven
Koeffizienten. Daher ist auch das durch (41.) definierte Integral
Zi im gleichen Bereich nach Potenzen von ^ und y entwickelbar.
Anderseits ist aber offenbar, daß die Differentialgleichung (36.)
nnr ein Integral hat, welches sich nach Potenzen von und y
entwickeln läßt und für ?/=0 verschwindet; denn die Entwicklungs-