Bedient man sich eines Systems geodätischer Linien (y=const)
und ihrer Orthogonaltrajektorien (u = const), also einer Schar von
geodätischen Parallelkurven als Gauss scher Koordinaten auf der
Fläche, so erhält man für die erste quadratische Differentialform
oder das Quadrat des Liniehelements
ds2 = du2 + G(u, v) dv2
oder, wie wir hier statt dessen schreiben wollen,
ds2 = du2 + g2 (u,u) dv2 .
Bezeichnet man sodann partielle Differentialquotienten nach
u und v in bekannter Weise durch Fußmarken 1 und 2, so erhal-
ten die Mainardi-Godazzi sehen Gleichungen1 für die Koeffizien-
ten L,M,N der zweiten quadratischen Differentialform die Gestalt
(1)
z.2 - J/t = A M ,
g
LN-M2 = -gllg,
Nt-M2 = ^N--^M + glgL .
g g
Diese Gleichungen sollen jetzt für die beiden folgenden Auf-
gaben verwendet werden:
1. Bestimmung von Flächen, auf denen eine Schar von Krüm-
mungslinien aus geodätischen Parallelkurven besteht.
2. Bestimmung von Flächen, auf denen eine Schar von Asym-
ptotenlinien (Haupttangentenkurven) aus geodätischen Parallel-
kurven besteht.
1 Vgl. Scheffers, Einführung in die Theorie der Flächen (Leipzig 1902),
Tafel XVII.
i*
und ihrer Orthogonaltrajektorien (u = const), also einer Schar von
geodätischen Parallelkurven als Gauss scher Koordinaten auf der
Fläche, so erhält man für die erste quadratische Differentialform
oder das Quadrat des Liniehelements
ds2 = du2 + G(u, v) dv2
oder, wie wir hier statt dessen schreiben wollen,
ds2 = du2 + g2 (u,u) dv2 .
Bezeichnet man sodann partielle Differentialquotienten nach
u und v in bekannter Weise durch Fußmarken 1 und 2, so erhal-
ten die Mainardi-Godazzi sehen Gleichungen1 für die Koeffizien-
ten L,M,N der zweiten quadratischen Differentialform die Gestalt
(1)
z.2 - J/t = A M ,
g
LN-M2 = -gllg,
Nt-M2 = ^N--^M + glgL .
g g
Diese Gleichungen sollen jetzt für die beiden folgenden Auf-
gaben verwendet werden:
1. Bestimmung von Flächen, auf denen eine Schar von Krüm-
mungslinien aus geodätischen Parallelkurven besteht.
2. Bestimmung von Flächen, auf denen eine Schar von Asym-
ptotenlinien (Haupttangentenkurven) aus geodätischen Parallel-
kurven besteht.
1 Vgl. Scheffers, Einführung in die Theorie der Flächen (Leipzig 1902),
Tafel XVII.
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