Vorgeschriebene geodätische Parallelkurven.
(A. 9) 5
V fflgll ££111 ££11^(^)
1 L (u) L (u) L2 (u)
und man erhält, wenn man in die dritte Gleichung einsetzt und
für L(u), L'(u) wieder kurz schreibt L,L':
gin -^gn + giL2 = 0 .
Diese partielle Differentialgleichung dritter Ordnung für g
kann vollständig integriert werden.
Man macht den Ansatz
g = f du + V(y)
und erhält
= 0 •
Diese Differentialgleichung hat die RiccATische Form, läßt
sich aber durch den weiteren Ansatz
■
<p = f Ly)du +
umformen in die sofort integrable Form
Es ist daher
L^ + L2 ('!+/) = 0 .
y) = tang (T(v) — J*Ldu^ .
Somit ist auch g bestimmt, daher N. — Die Lösung enthält
schließlich eine willkürliche Funktion L(u) und drei willkürliche
Funktionen F(^), T(y) von v.
Wir haben die Lösung dieser Aufgabe als erfreuliches Vorbild
für die zweite, wesentlich schwierigere vorangestellt, wollen aber
hervorheben, daß durch geometrische Betrachtungen die Lösung
(A. 9) 5
V fflgll ££111 ££11^(^)
1 L (u) L (u) L2 (u)
und man erhält, wenn man in die dritte Gleichung einsetzt und
für L(u), L'(u) wieder kurz schreibt L,L':
gin -^gn + giL2 = 0 .
Diese partielle Differentialgleichung dritter Ordnung für g
kann vollständig integriert werden.
Man macht den Ansatz
g = f du + V(y)
und erhält
= 0 •
Diese Differentialgleichung hat die RiccATische Form, läßt
sich aber durch den weiteren Ansatz
■
<p = f Ly)du +
umformen in die sofort integrable Form
Es ist daher
L^ + L2 ('!+/) = 0 .
y) = tang (T(v) — J*Ldu^ .
Somit ist auch g bestimmt, daher N. — Die Lösung enthält
schließlich eine willkürliche Funktion L(u) und drei willkürliche
Funktionen F(^), T(y) von v.
Wir haben die Lösung dieser Aufgabe als erfreuliches Vorbild
für die zweite, wesentlich schwierigere vorangestellt, wollen aber
hervorheben, daß durch geometrische Betrachtungen die Lösung