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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0003
Die Bezeichnungen regulär und singulär für die Punkte reeller,
ebener, stetig differenzierbarer Kurven1) werden in sehr verschiedener
Weise gebraucht:
Im Anschluß an K. v. Staudt2) wird ein stetiger reeller Kurven-
bogen mit stetig variierender Tangente dann nirgends singulär genannt,
wenn er weder als Punktgebilde noch als Tangentengebilde Rückkehr-
elemente enthält. Die Krümmungsverhältnisse für die verschiedenen
sich daraus ergebenden Arten regulärer und singulärer Punkte behandelt
Chr. Wiener 3) auf Grund anschaulicher Schlüsse.
In den analytischen Betrachtungen der Funktionentheorie und der
Differentialgeometrie werden in hiervon abweichendem Sinne diejenigen
Punkte eines in Parameterform gegebenen Kurvenstückes x — cp (£),
V — xtf) als singulär bezeichnet, für welche cp'(t) = %'(f) — 0 ist,4)
wobei das Wort Kurvenstück aber die verschiedensten Bedeutungen
hat. Am weitesten faßt in diesem Zusammenhänge das reguläre
Kurvenstück W. F. Osgood5) als einfache, offene, glatte
JoRDANsche Kurve. Ein solches Kurvenstück läßt sich durch zwei
*) Vgl. hierzu H. v. Mangoldt, Die Begriffe „Linie“ und „Fläche“. Enz.
d. math. Wiss. III AB 2 (wird zitiert als v. Mangoldt, Linie) Nr. 8.
2) K. v. Staudt, Geometrie der Lage, Nürnberg 1847 , § 11 und § 15. Die analy-
tischen Voraussetzungen, welche den v. STAUDTschen Annahmen bei der Ein-
führung der „Rückkehrelemente“ entsprechen, sollen hier nicht untersucht
werden.
3) Chr. Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, Leipzig 1884, Bd. I,
S. 204-207.
4) Die Definition der singulären Punkte bei Kurven f (sc, y) — 0, die vor allem
in der Theorie der algebraischen Kurven eine große Rolle spielt, deckt sich
mit der differentialgeometrischen nicht vollständig. Sie kommt für die folgenden
Untersuchungen nicht in Frage.
5) W. F. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. I, 2. Aufl., Leipzig 1912,
S. 51 und 147—149. Dort ist die Fassung schärfer als in des gleichen Ver-
fassers Artikel „Allgemeine Theorie dei’ analytischen Funktionen einer und mehrerer
komplexer Größen“, Enz. d. math. Wiss. II B 1, S. 9, wo der Fall der Spitze nicht
ausgeschlossen ist.
ebener, stetig differenzierbarer Kurven1) werden in sehr verschiedener
Weise gebraucht:
Im Anschluß an K. v. Staudt2) wird ein stetiger reeller Kurven-
bogen mit stetig variierender Tangente dann nirgends singulär genannt,
wenn er weder als Punktgebilde noch als Tangentengebilde Rückkehr-
elemente enthält. Die Krümmungsverhältnisse für die verschiedenen
sich daraus ergebenden Arten regulärer und singulärer Punkte behandelt
Chr. Wiener 3) auf Grund anschaulicher Schlüsse.
In den analytischen Betrachtungen der Funktionentheorie und der
Differentialgeometrie werden in hiervon abweichendem Sinne diejenigen
Punkte eines in Parameterform gegebenen Kurvenstückes x — cp (£),
V — xtf) als singulär bezeichnet, für welche cp'(t) = %'(f) — 0 ist,4)
wobei das Wort Kurvenstück aber die verschiedensten Bedeutungen
hat. Am weitesten faßt in diesem Zusammenhänge das reguläre
Kurvenstück W. F. Osgood5) als einfache, offene, glatte
JoRDANsche Kurve. Ein solches Kurvenstück läßt sich durch zwei
*) Vgl. hierzu H. v. Mangoldt, Die Begriffe „Linie“ und „Fläche“. Enz.
d. math. Wiss. III AB 2 (wird zitiert als v. Mangoldt, Linie) Nr. 8.
2) K. v. Staudt, Geometrie der Lage, Nürnberg 1847 , § 11 und § 15. Die analy-
tischen Voraussetzungen, welche den v. STAUDTschen Annahmen bei der Ein-
führung der „Rückkehrelemente“ entsprechen, sollen hier nicht untersucht
werden.
3) Chr. Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, Leipzig 1884, Bd. I,
S. 204-207.
4) Die Definition der singulären Punkte bei Kurven f (sc, y) — 0, die vor allem
in der Theorie der algebraischen Kurven eine große Rolle spielt, deckt sich
mit der differentialgeometrischen nicht vollständig. Sie kommt für die folgenden
Untersuchungen nicht in Frage.
5) W. F. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. I, 2. Aufl., Leipzig 1912,
S. 51 und 147—149. Dort ist die Fassung schärfer als in des gleichen Ver-
fassers Artikel „Allgemeine Theorie dei’ analytischen Funktionen einer und mehrerer
komplexer Größen“, Enz. d. math. Wiss. II B 1, S. 9, wo der Fall der Spitze nicht
ausgeschlossen ist.