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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0014
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R. Bald US:
Aus Nr. 7 und 8 folgt:
Die Bedingungen a) und b) sind für eine Parameter-
singularität notwendig und hinreichend.
9. Die Parametersingularität m = 3, n—6. Als Beispiel
möge der einfachste Fall einer Parametersingularität betrachtet werden,
m = 3, n~-=6. Hier handelt es sich um eiuen nach Nr. 2 regulären
Kurvenpunkt, für den = 1, r = 2 ist. a) ist erfüllt, b) sagt aus, daß
(10) y'7®)=r«=7^(v'W2r©-3/(i)?>''W/V) -
in der Umgebung des Punktes x = t = z = Q beschränkt sein soll. Zur
Entscheidung hierüber ist die genauere Kenntnis der Ableitungen der
Funktionen <p(f) und /(^) nötig, die nach den Voraussetzungen I—VI
bis zur 7. einschließlich definiert sind. Besonders einfach wird die
Beantwortung der Frage, ob es sich um eine Parametersingularität
handelt, wenn man von / (t) die Existenz einiger endlicher Ableitungen
mehr voraussetzt, als nach I —VI gewährleistet sind: von /(() existiere
noch die 9. Ableitung, wieder beschränkt. Entwickelt man dann, soweit
es hiernach möglich ist, die Ableitungen von (p(t) und /(zf) nach
steigenden Potenzen von t, setzt man deren Werte in Gl. (10) ein und
ordnet man Zähler und Nenner nach steigenden Potenzen von t, dann
beginnt diese Entwicklung im Zähler mit der 8. Potenz22), im Nenner
mit der 10. b) ist dann gleichbedeutend mit der Bedingung, daß die
8. und 9. Potenz im Zähler den Zahlenfaktor 0 haben. Eine einfache
Rechnung liefert hierfür die beiden Gleichungen
2. t(3) (0) • (0) - 7 • gW (0) • /6> (0) = o23)
und 5 • (0) • %(8> (0) - 5 • gW (0) • (0) - 28 • (p& (0) • 7™ (0) = 0,
welche nun notwendige und hinreichende Bedingungen für das Auf-
treten einer Parametersingularität aussprechen.
Ganz entsprechend kann man in jedem F a 11 e
bei einer Singularität, we 1 clie die Bedingung a) er-
füllt, unter etwas engeren als den bisherigen Voraus-
setzungen die Bedingung b) durch ein System von höch-
stens m Gleichungen ersetzen.24) Aus den in Nr. 3 über die
22) hat, Wie man leicht berechnet, den Faktor 0.
23) 9?(3)(0) bedeutet <p'"(0) usw.
24) Die Gleichungen sind homogen in den cp Z^(0) und vom Grade
p — 1 in diesen Größen. Im vorliegenden Beispiel ist der Grad infolge Division
durch g?(3)(0)>0 um 1 erniedrigt.
R. Bald US:
Aus Nr. 7 und 8 folgt:
Die Bedingungen a) und b) sind für eine Parameter-
singularität notwendig und hinreichend.
9. Die Parametersingularität m = 3, n—6. Als Beispiel
möge der einfachste Fall einer Parametersingularität betrachtet werden,
m = 3, n~-=6. Hier handelt es sich um eiuen nach Nr. 2 regulären
Kurvenpunkt, für den = 1, r = 2 ist. a) ist erfüllt, b) sagt aus, daß
(10) y'7®)=r«=7^(v'W2r©-3/(i)?>''W/V) -
in der Umgebung des Punktes x = t = z = Q beschränkt sein soll. Zur
Entscheidung hierüber ist die genauere Kenntnis der Ableitungen der
Funktionen <p(f) und /(^) nötig, die nach den Voraussetzungen I—VI
bis zur 7. einschließlich definiert sind. Besonders einfach wird die
Beantwortung der Frage, ob es sich um eine Parametersingularität
handelt, wenn man von / (t) die Existenz einiger endlicher Ableitungen
mehr voraussetzt, als nach I —VI gewährleistet sind: von /(() existiere
noch die 9. Ableitung, wieder beschränkt. Entwickelt man dann, soweit
es hiernach möglich ist, die Ableitungen von (p(t) und /(zf) nach
steigenden Potenzen von t, setzt man deren Werte in Gl. (10) ein und
ordnet man Zähler und Nenner nach steigenden Potenzen von t, dann
beginnt diese Entwicklung im Zähler mit der 8. Potenz22), im Nenner
mit der 10. b) ist dann gleichbedeutend mit der Bedingung, daß die
8. und 9. Potenz im Zähler den Zahlenfaktor 0 haben. Eine einfache
Rechnung liefert hierfür die beiden Gleichungen
2. t(3) (0) • (0) - 7 • gW (0) • /6> (0) = o23)
und 5 • (0) • %(8> (0) - 5 • gW (0) • (0) - 28 • (p& (0) • 7™ (0) = 0,
welche nun notwendige und hinreichende Bedingungen für das Auf-
treten einer Parametersingularität aussprechen.
Ganz entsprechend kann man in jedem F a 11 e
bei einer Singularität, we 1 clie die Bedingung a) er-
füllt, unter etwas engeren als den bisherigen Voraus-
setzungen die Bedingung b) durch ein System von höch-
stens m Gleichungen ersetzen.24) Aus den in Nr. 3 über die
22) hat, Wie man leicht berechnet, den Faktor 0.
23) 9?(3)(0) bedeutet <p'"(0) usw.
24) Die Gleichungen sind homogen in den cp Z^(0) und vom Grade
p — 1 in diesen Größen. Im vorliegenden Beispiel ist der Grad infolge Division
durch g?(3)(0)>0 um 1 erniedrigt.