Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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R. Baldus:

ungerade ist. Hier sind dann die Ausdrücke (11) und (12) in
einer Umgebung von Po gleichbedeutend.
11. Es sei nun m ungerade ^>2.25) Für das Intervall Jj von
Nr. 1 ist vermöge Gl. (11) s (nebst seiner ersten Ableitung nach 0 eine
reellwertige, eindeutige, endliche, stetige Funktion von t. In einem
abgeschlossenen Intervall -Ä um den Nullpunkt ist s stets wachsend
und demnach auch t eine eindeutige Funktion von s. Daher genügen
in Js die beiden Funktionen 0(s) und N(s) der Bedingung I. Be-
rechnet man mittels des Parameters t die Ableitungen von P(s) und
A(s), dann treten in dem Ausdrucke für die^J-te Ableitung jeder dieser
beiden Funktionen die Ableitungen von <p(£) und /(/) nach t bis zur
79-ten einschließlich auf. Ordnet man Az(r'} (s) nach steigenden Potenzen
von t, dann beginnt diese Entwicklung mit der Potenz Soll
nun gemäß II und IV eine Ableitung von X(s), z. B. die j>-te an der
Nullstelle nicht verschwinden und endlich sein, so muß n = mp sein.
Alle vorhergehenden Ableitungen von X(s) verschwinden dann an dieser
Stelle.
Damit ist gezeigt, daß die Bedingung a) von Nr. 7 für die Dar-
stellbarkeit der Umgebung eines Punktes Po durch den Parameter s
notwendig (aber nicht hinreichend) ist.
Auf dem soeben erwähnten Weg über die Ableitungen von cp(t)
und /(0 erkennt man einfach, daß die Funktionen 0(s) undX(s) für
ungerades m und für n — mp die Bedingungen I—VII erfüllen, und zwar
für ,a=l, v=p, mit Ausnahme von Bedingung III, der zwar (S)
aber nicht ohne weiteres Aö’ + 1)(s) genügt. In ist die Beziehung
■y' /
zwischen s und x umkehrbar eindeutig und es ist y' (x) = . Ent¬
sprechende Formeln für die höheren Ableitungen von y(x) erhält man
ohne weiteres aus den Gin. (5), indem man y(x) statt g (r), N(s) statt
%(t) und d>(s) statt cp(t) setzt. Da nun in Js beständig P'(s))>0 ist,
folgt ohne weiteres, daß gleichzeitig mit X(7,~rl)(s) auch yö’ + 1)(«) in
einem abgeschlossenen Intervall um den Nullpunkt beschränkt ist,
d. h. die Parameterdarstellung in s ist nur unter der weiteren Be-
dingung b) von Nr. 8 möglich.
Faßt man dies zusammen, dann folgt daraus als Lösung des in
Nr. 10 erwähnten scheinbaren Widerspruches, daß die (beider-
seitige) Umgebung von Po immer und nur dann durch

26) Im regulären Fall, m = l, liegt kein Widerspruch vor.