DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0017
Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven. J7
den Parameter s im Sinne von I —VII dar gestellt wer-
den kann, wenn in Po keine Kurvensingularität vorliegt.
12. Reelle analytische Kurven. Bei reellen analyti-
schen Kurven laufen die Betrachtungen den bisherigen Überlegungen
im wesentlichen parallel. Sie lassen sich unter Verwendung bekann-
ter Sätze über reelle Potenzreihen 26) einfach durchführen:
P) = _|_ i -1- . . . . , % (Ü = bv t -v^v+P . . . .,
0<^<W endlich, «/(, bv~^>0
seien zwei reelle Potenzreihen, die beide in einem abgeschlossenen
Intervalle (£x, = konvergieren. x = cp(f), y = zP)
stellt dann ein analytisches Kurvenstück dar; dem Werte £ = 0 ent-
spreche der Punkt Po.
Ist p=l, dann ist Po ein regulärer Punkt mit den in Nr. 2
angegebenen Krümmungseigenschaften. Statt v möge hier wieder p
geschrieben werden. In einem in Jx enthaltenen Intervalle (if2, P2) = P2,
^2<^0<^P2, läßt sich die Potenzreihe T = cp(t) umkehren in die Potenz-
reihe £=/'(?) = cxT + e2r24- • • • • , die in einem Intervalle (t, T) = Pt,
t<0<(T konvergiert. Für ein in JT enthaltenes r-Intervall mit dem
Nullpunkt als innerem Punkte konvergiert dann die durch Einsetzen
von /’(r) in %(Z) gewonnene Potenzreihe dv t? + dp i tp ~1 + . . . . , so
daf3 hier
(13) x — t, y = dpTp-\-dp + iTP ' x-\-. . .,
wie früher die Gin. (6) die Umgebung des regulären Punktes Po dar-
stellen.
^ = ^^>1, v — n liefert auch hier einen singulären Punkt,
..... x=amt -|-aTO-LiP 1 + ... =5ßx(£),
y = ßn^n P + + • • • = ^2 Ü) •
Die Nrn. 4—6 gelten dabei unverändert.
Als Charakteristikum für eine Parametersingularität in
Po folgt aus den Gin. (13), daß y in einer Umgebung von Po
in eine Potenz reihe nach x entwickelbar sein muß,
(15) ^(t) = dr^+dp+l^1(ir+1 ....
Hieraus ergibt sich zunächst wieder, ähnlich wie in Nr. 7, das Kri-
terium a). Statt b) erhält man aus (14) und (15) für die a und ß
26) Vgl. z. B. Burkhardt - Faber, Algebraische Analysis, Berlin und
Leipzig 1920, S. 124 — 128 und 168—-178.
den Parameter s im Sinne von I —VII dar gestellt wer-
den kann, wenn in Po keine Kurvensingularität vorliegt.
12. Reelle analytische Kurven. Bei reellen analyti-
schen Kurven laufen die Betrachtungen den bisherigen Überlegungen
im wesentlichen parallel. Sie lassen sich unter Verwendung bekann-
ter Sätze über reelle Potenzreihen 26) einfach durchführen:
P) = _|_ i -1- . . . . , % (Ü = bv t -v^v+P . . . .,
0<^<W endlich, «/(, bv~^>0
seien zwei reelle Potenzreihen, die beide in einem abgeschlossenen
Intervalle (£x, = konvergieren. x = cp(f), y = zP)
stellt dann ein analytisches Kurvenstück dar; dem Werte £ = 0 ent-
spreche der Punkt Po.
Ist p=l, dann ist Po ein regulärer Punkt mit den in Nr. 2
angegebenen Krümmungseigenschaften. Statt v möge hier wieder p
geschrieben werden. In einem in Jx enthaltenen Intervalle (if2, P2) = P2,
^2<^0<^P2, läßt sich die Potenzreihe T = cp(t) umkehren in die Potenz-
reihe £=/'(?) = cxT + e2r24- • • • • , die in einem Intervalle (t, T) = Pt,
t<0<(T konvergiert. Für ein in JT enthaltenes r-Intervall mit dem
Nullpunkt als innerem Punkte konvergiert dann die durch Einsetzen
von /’(r) in %(Z) gewonnene Potenzreihe dv t? + dp i tp ~1 + . . . . , so
daf3 hier
(13) x — t, y = dpTp-\-dp + iTP ' x-\-. . .,
wie früher die Gin. (6) die Umgebung des regulären Punktes Po dar-
stellen.
^ = ^^>1, v — n liefert auch hier einen singulären Punkt,
..... x=amt -|-aTO-LiP 1 + ... =5ßx(£),
y = ßn^n P + + • • • = ^2 Ü) •
Die Nrn. 4—6 gelten dabei unverändert.
Als Charakteristikum für eine Parametersingularität in
Po folgt aus den Gin. (13), daß y in einer Umgebung von Po
in eine Potenz reihe nach x entwickelbar sein muß,
(15) ^(t) = dr^+dp+l^1(ir+1 ....
Hieraus ergibt sich zunächst wieder, ähnlich wie in Nr. 7, das Kri-
terium a). Statt b) erhält man aus (14) und (15) für die a und ß
26) Vgl. z. B. Burkhardt - Faber, Algebraische Analysis, Berlin und
Leipzig 1920, S. 124 — 128 und 168—-178.