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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0020
20
R. Baldus:
Beziehung besteht 0<Cüi<ü//2 • • • Es muß dabei pr
endlich sein, weil sonst (Cr) in der Hyperebene xr = Q liegen würde.
Je nachdem /z^l oder )> 1 ist, heißt der Punkt Po regulär30)
Die f-malige Wiederholung des oben erwähnten Projektionsprozesses
liefert die Kurve (Cr_i), die durch <^J,(Z) = 0, v=l, 2.i, be¬
stimmt ist.
15. Voraussetzungen über die cpv(P). Wählt man das be-
gleitende r-Kant im Punkte Po, Z=0, als Koordinatensystem, dann
führt dies nach Nr. 1 und 14 bei entsprechender Orientierung der
Koordinatenachsen zu folgenden Annahmen über die cpr (t):
Jede der Funktionen cpv(t), r= 1,2, r, erfüllt für ein allen
diesen Funktionen gemeinsames, abgeschlossenes, reelles t- Intervall J
um den Nullpunkt die Bedingungen, daß
VIII. c/>1(Z).samt den /zr-j-l ersten Ableitungen reell-
wertig, eindeutig, endlich und die l)-te Ableitung
beschränkt ist, während dasselbe für die übrigen (pv{P)
samt ihren ,Uj,+ l ersten Ableitungen gilt;
IX. die erste an der Stelle Z = 0 nicht verschwindende
Ableitung cpv^lv'>(t) ist j>0, bei endlichem
X. es ist 0 .... Dann ist auch gv^v,
r= 1, 2 . . r.
16. Reguläre Punkte. Po sei ein regulärer Punkt, /zx=l,
pcv—pv> ^ = 2,3,. . • r. Wendet man die Überlegungen von Nr. 1 und
2 statt wie dort auf y und / hier auf alle Funktionenpaare (c/>x, (pv\
r —2,3 . . . r an, dann folgt daraus, daß es immer möglich ist durch
Einführung einer Funktion — welche für /z=l die Voraus-
setzungen I —IV erfüllt, eine Umgebung des Kurvenpunktes Po —
die möglicherweise enger ist als die durch J bestimmte — durch die
Gleichungen darzustellen.
(17) xr = x, xv=gv(j) = xvTVrP-^’rlgv^r\ r = 2, 3...r,
1<P1<^2 • • • • <Pr,
Dabei befriedigt gv(r) die Forderungen I —IV für pb—pv.
30) Ein großer Teil der den Nrn. 14, 18, 21 für den einfachsten regulären
Fall = ?=1,2, . ... r entsprechenden Überlegungen findet sich schon bei
G. E. A. Brunel, Sur les propriete's metriques des courbes gauches dans un
espace lineaire ä n dimensions, Math. Ann. Bd. 19, 1882, S. 37—55.
R. Baldus:
Beziehung besteht 0<Cüi<ü//2 • • • Es muß dabei pr
endlich sein, weil sonst (Cr) in der Hyperebene xr = Q liegen würde.
Je nachdem /z^l oder )> 1 ist, heißt der Punkt Po regulär30)
Die f-malige Wiederholung des oben erwähnten Projektionsprozesses
liefert die Kurve (Cr_i), die durch <^J,(Z) = 0, v=l, 2.i, be¬
stimmt ist.
15. Voraussetzungen über die cpv(P). Wählt man das be-
gleitende r-Kant im Punkte Po, Z=0, als Koordinatensystem, dann
führt dies nach Nr. 1 und 14 bei entsprechender Orientierung der
Koordinatenachsen zu folgenden Annahmen über die cpr (t):
Jede der Funktionen cpv(t), r= 1,2, r, erfüllt für ein allen
diesen Funktionen gemeinsames, abgeschlossenes, reelles t- Intervall J
um den Nullpunkt die Bedingungen, daß
VIII. c/>1(Z).samt den /zr-j-l ersten Ableitungen reell-
wertig, eindeutig, endlich und die l)-te Ableitung
beschränkt ist, während dasselbe für die übrigen (pv{P)
samt ihren ,Uj,+ l ersten Ableitungen gilt;
IX. die erste an der Stelle Z = 0 nicht verschwindende
Ableitung cpv^lv'>(t) ist j>0, bei endlichem
X. es ist 0 .... Dann ist auch gv^v,
r= 1, 2 . . r.
16. Reguläre Punkte. Po sei ein regulärer Punkt, /zx=l,
pcv—pv> ^ = 2,3,. . • r. Wendet man die Überlegungen von Nr. 1 und
2 statt wie dort auf y und / hier auf alle Funktionenpaare (c/>x, (pv\
r —2,3 . . . r an, dann folgt daraus, daß es immer möglich ist durch
Einführung einer Funktion — welche für /z=l die Voraus-
setzungen I —IV erfüllt, eine Umgebung des Kurvenpunktes Po —
die möglicherweise enger ist als die durch J bestimmte — durch die
Gleichungen darzustellen.
(17) xr = x, xv=gv(j) = xvTVrP-^’rlgv^r\ r = 2, 3...r,
1<P1<^2 • • • • <Pr,
Dabei befriedigt gv(r) die Forderungen I —IV für pb—pv.
30) Ein großer Teil der den Nrn. 14, 18, 21 für den einfachsten regulären
Fall = ?=1,2, . ... r entsprechenden Überlegungen findet sich schon bei
G. E. A. Brunel, Sur les propriete's metriques des courbes gauches dans un
espace lineaire ä n dimensions, Math. Ann. Bd. 19, 1882, S. 37—55.