Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beiträge zur Inversionsgeometrie TU.
Die fruchtbaren Leitgedanken für die Behandlung der inneren
Geometrie einer Gruppe sind im Artikel III AB 4b der Mathematischen
Encyklopädie (G. Fano, Kontinuierliche geometrische Gruppen) Nr. 37
dargelegt und es liegen bekanntlich auch aus jüngster Zeit viele all-
gemeine und spezielle Untersuchungen vor, die ihnen folgen. In diesem
Sinne wurde der hier vorliegende dritte Beitragx) zur Inversions-
geometrie verfaßt.
In § 1 werden die Gesichtspunkte für die innere Geometrie durch
die Begriffe: Eigenparameter,Eigengruppe, Extremalenproblem gegliedert.
In § 2 wird die Gruppe der ebenen Kreis Verwandtschaften demgemäß
behandelt mit Hinweis auf die LAGUERREsche Inversionsgeometrie.
§ 3 endlich holt den Beweis eines schon früher* 2) mitgeteilten Satzes
über Minimalflächen nach.
§ 1. Die inhere Geometrie der Gruppen.
1. Der Eigenparameter. Wenn eine Gruppe durch einfache
geometrische Eigenschaften gekennzeichnet ist, so gelangt man leicht
zu dem für ihre Behandlung geeigneten invarianten Eigen parameter,
dem bei der Gruppe der ebenen Bewegungen die Bogenlänge entspricht.
Bei der sechsgliedrigen Gruppe der ebenen Kreisverwandtschaften
z. B. ist zu beachten, daß Kreise in Kreise übergehn und Winkel un-
geändert bleiben. Es bestimmen aber zwei benachbarte Linienelemente
einer Kurve den Krümmungskreis. Der Winkel des dritten benachbarten
Linienelementes mit dem Krümmungskreis ist dann invariant. Be-
zeichnet man alsdann mit s die Bogenlänge, mit p den Krümmungs-
radius, mit t den Neigungswinkel der Kurve, mit f den des Kreises,
so ist


0 Vgl. Die LiEsche Cyklide und die Inversionskrümmung. Heidelberger
Berichte 1922 (3. November) zweite Abhandlung (angeführt mit „J. !“)■ Beiträge
zur Inversionsgeometrie der Kurven. Münchener- Berichte 1923 (3. Februar).
(Wird in F. angeführt mit rJ. II.“)
2) „J. I.“; Seite 18.