Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Heinrich Liebmann:

aber
// n t t
S ,, s SO
q' q q* ’
also wird
,, S Q
T —T = —
Q2

eine Invariante. Demgemäß wird der Eigenparameter ans
d/ =
zu bestimmen sein.1)

Noch ein Beispiel möge hier herangezogen werden, die zehngliedrige
projektive Gruppe des linearen Komplexes. Drei Punkte ABC und
eine von C ausgehende Gerade haben zusammen 3 + 3 + 3 + 2 = 11
Bestimmungsstücke, die jedenfalls eine Invariante besitzen, und es
/ kommt nur darauf an, sie als Doppelverhältnis zu erfassen. Die durch
die drei Punkte bestimmte Ebene {ABC} ist Nullebene eines bestimmten
ihr angehörigen Punktes S, und auf CS liegt noch ein Punkt C} der
Geraden {AB} und der Spurpunkt C2 der Polaren von g auf {ABC}.

Das Doppelverhältnis
SCX SC2
ccx: CC2

ist dann invariant bei der Gruppe des Komplexes und führt durch
Grenzübergang auf den Eigenparameter, der für die Invariantentheorie
der Kurven zu verwenden ist.

Ist der (bei allen Transformationen einer Gruppe invariante) Eigen-
parameter gefunden, so bestimmen sich die Erweiterungen jeder der
Gruppe angehörigen Transformation

r

ds2

b Vgl. „J. II.“ §1. — Genau so erhält man den Eigenparameter für die
Inversionsgeometrie der Raumkurven. Entwickelt man nämlich den Richtungs-
cosinus u = cos a der Kurventangente nach Potenzen von Js und versteht unter
1 : r die Krümmung, 1 : q die Torsion, so kommt
, , / P . cos« . cosg?\Js2 ,
zfs+ —-cos2-—4-) — + ...
\ r2 r- rg ) 2
Für die Richtung (u -T du, v + öv, w 4- <3w) des Krümmungskreises erhält man
diese Formel mit der Vereinfachung r' = 0, 1:^=0. Es ist also
invariant, daher (mit Einführung des Radius R der Schmiegungskugel)
dt — ds

rQi
das Differential des Eigenparameters. — Auf eine höhere Invariante führt die
Berechnung des Winkels, den die durch drei Linienelemente bestimmte Schmie-
gungskugel mit dem vierten Element einschließt.